Halaman
101Barisan dan DeretSumber:www.exterpassive.comBarisan dan DeretIIIBabTujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan ciri baris-an aritmetika dan ba-risan geometri;2. merumuskan suku ke-n dan jumlah n sukuderet aritmetika danderet geometri;3. menentukan suku ke-ndan jumlah n sukuderet aritmetika danderet geometri;4. menjelaskan ciri deretgeometri tak hinggayang mempunyai jum-lah;5. menghitung jumlahderet geometri tak hing-ga;6. menuliskan suatu deretaritmetika dan geometridengan notasi sigma;7. menjelaskan karak-teristik masalah yangmodel matematikanyaberbentuk deret arit-metika atau geometri;8. merumuskan dan me-nyelesaikan deret yangmerupakan model ma-tematika dari masalah;9. menjelaskan rumus-rumus dalam hitungkeuangan dengan deretaritmetika atau geome-tri;10.menentukan bungatunggal, bunga maje-muk, dan anuitas.MotivasiPernahkah kalian mengamati lingkungan sekitar? Disekeliling kalian tentulah banyak terjadi hal-hal yang bersifatrutin. Kejadian rutin adalah kejadian yang mempunyai pola atauketeraturan tertentu. Amati pola susunan biji pada bunga matahari.Amati pola pertumbuhan populasi makhluk hidup tertentu. Keduacontoh itu sebenarnya membentuk pola keteraturan tertentuberupa barisan. Kita dapat memperkirakan suku pada waktutertentu. Salah satunya adalah keteraturan populasi makhlukhidup. Untuk menghitung dan memperkirakannya, diperlukansuatu cara tertentu agar lebih mudah menyelesaikannya, yaitudengan konsep barisan dan deret.
102Khaz Matematika SMA 3 Bhs• angsuran• bunga majemuk• pola bilangan• anuitas• bunga tunggal• rasio• barisan• deret• sigma• barisan berhingga• deret tak berhingga• suku• batas atas• jumlah n suku• suku awal• batas bawah• konvergen• suku ke-n• beda• modal• suku tetap• bunga• periode bungamempelajariBarisan dan Deretterdiri atasBarisanNotasi SigmaDeretAritmetikaGeometriAritmetikaGeometriSifat-SifatNotasi SigmaGeometri TakBerhinggaterdiri atasmembahasHitungKeuanganBungaTunggalBungaMajemukAnuitasmeliputiKata KunciPeta Konsep
103Barisan dan DeretSebelumnya, kalian pernah belajar barisan dan deret ketikaduduk di bangku SMP. Pada pokok bahasan ini akan dibahassecara mendalam tentang barisan dan deret, serta hal-hal yangterkait dengan barisan dan deret. Kemudian, akan dijelaskantentang kegunaan barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hari.Sebelum kalian mempelajari materi ini secara mendalam,perlu kalian ingat kembali tentang pola bilangan yang telah kalianpelajari. Untuk itu, kerjakan soal-soal berikut berikut terlebihdahulu.A. Barisan dan DeretKalian tentu pernah berpikir tentang nomor rumah di sisikiri jalan yang bernomor ganjil 1, 3, 5, 7, dan seterusnya,sedangkan nomor rumah di sisi kanan jalan bernomor genap 2,4, 6, 8, dan seterusnya. Mungkin juga kalian pernah berpikir darimana para pakar menyatakan bahwa 10 tahun ke depan pendudukIndonesia akan menjadi x juta jiwa.Dua contoh di atas berkaitan dengan barisan dan deret darisuatu bilangan.1. Barisan BilanganMisalkan seorang anak diberi uang saku orang tuanya setiapminggu Rp10.000,00. Jika setiap minggu uang sakunyabertambah Rp500,00 maka dapat dituliskan uang saku dariminggu ke minggu berikutnya adalah Rp10.000,00, Rp10.500,00,Rp11.000,00, Rp11.500,00, ....Susunan bilangan-bilangan yang sesuai dengan contoh diatas adalah10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ...+ 500+ 500+ 500PrasyaratKerjakan di bukutugas1.Tentukan rumus umum suku ke-n dari pola bilanganberikut.a.1, 4, 7, 10, 13, ...b.2, 7, 12, 17, ...2.Jika diketahui rumus suku ke-n adalah Un = 4n + 7,tentukan 5 suku pertamanya.3.Menurut kalian, apa bedanya barisan dan deret?Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari kitalanjutkan ke materi berikut.
104Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh 1:Perhatikan bahwa dari bilangan-bilangan yang disusunberbentuk 10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ... mempunyaiketeraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, danseterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangansebelumnya ditambah 500. Bilangan-bilangan yang disusun urutdengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisanbilangan.Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsidengan daerah definisinya adalah bilangan asli. Misalkan barisanbilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunyamaka bilangan pertama ditulis U(1) atau U1, bilangan kedua ditulisU(2) atau U2, dan seterusnya. Jika kita buat korespondensi, akanterlihat seperti berikut.1234...nbbbbbbU1U2U3U4...UnJadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U1, U2, U3, ..., Un, ...Dalam hal ini, Un = f(n) disebut rumus umum suku ke-n daribarisan bilangan.Diketahui barisan bilangan dengan suku ke-n berbentuk Un =n2 – 2n. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan tersebut.Jawab:Rumus suku ke-n adalah Un = n2 – 2n.Suku pertama dapat dicari dengan menyubstitusikan n = 1 dandiperoleh U1 = 12 – 2(1) = –1. Suku kedua dicari denganmenyubstitusikan n = 2 dan diperoleh U2 = 22 – 2(2) = 0.Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut.Suku ketiga = U3 = 32 – 2(3) = 3.Suku keempat = U4 = 42 – 2(4) = 8.Suku kelima = U5 = 52 – 2(5) = 15.Jadi, lima suku pertama dari barisan itu adalah –1, 0, 3, 8, 15.Misalkan diberikan suatu barisan bilangan dengan sukuke-n dari barisan bilangan tersebut tidak diketahui. Dapatkahkita menentukan rumus suku ke-n? Hal ini tidak selalu dapatditentukan, tetapi pada beberapa barisan kita dapatmelakukannya dengan memperhatikan pola suku-suku barisantersebut.
105Barisan dan DeretContoh 2:Diketahui barisan bilangan 4, 7, 12, 19, ....a.Tentukan rumus suku ke-n.b.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 199?Jawab:Barisan bilangan: 4, 7, 12, 19, ...a.Suku ke-1 = U1 = 4 = 12 + 3Suku ke-2 = U2 = 7 = 22 + 3Suku ke-3 = U3 = 12 = 32 + 3Suku ke-4 = U4 = 19 = 42 + 3MMSuku ke-n = Un = n2 + 3Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = n2 + 3.b.Diketahui suku ke-n = 199, berartiUn = 199n2 + 3 = 199n2 = 196Karena n2 = 196 maka n1 = 14 atau n2 = –14 (dipilih nilain positif).Mengapa tidak dipilih n = –14?Jadi, suku yang nilainya 199 adalah suku ke-14.2. Deret BilanganMisalkan kita mempunyai barisan bilangan U1, U2, U3, ...,Un dan Sn adalah jumlah dari suku-suku barisan itu. Sn = U1 + U2+ U3 + ... + Un disebut deret.Jadi, deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan.MariBerdiskusiBerpikir KritisApakah deret suatu bilangan dapat disebut suatu barisan?Apa perbedaan barisan dengan deret? Jika pola suku darideret suatu bilangan diketahui, dapatkan rumus sukunyadiketahui?Soal Kompetensi 1• Kerjakan di buku tugas1.Tuliskan lima suku pertama dari barisan bilangan berikut.a.Un = 4n – 5d.Un = (– 1)n + 2nb.Un = 2 – n2e.Un = 5412+nc.Un = (–1)nf.Un = 21n + 4
106Khaz Matematika SMA 3 Bhs2.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un =3n2 – 2.a.Tentukan empat suku pertama barisan tersebut.b.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 430?3.Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut, kemudiantentukan suku ke-20 dan suku ke-30.a.3, 5, 7, 9, ...b.3, 12, 37, 48, ...c.– 4, 10, –18, 28, ...d.... ,74 ,63 ,52 ,41e.... ,811 ,271 ,91 ,93<<4.Diketahui suku ke-n dari suatu barisan bilangan adalahUn = an + b. Jika U3 = 18 dan U5 = 28, tentukan U20.5.Diketahui rumus suku ke-n barisan bilangan adalah Un =an2 + b, U2 + U4 = 50, dan U10 – U5 = 150. Tentukana.Un;d.nnUU1+;b.U50;e.jumlah 10 suku pertama;c.Un+1 – Un;f.jumlah 15 suku pertama.6.Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 2n2– 4n + 3.a.Tentukan lima suku pertama dari barisan tersebut.b.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 393?c.Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 1.923?7.Diketahui rumus suku ke-n barisan bilangan adalah Un =an2 + b. Jika U2 = 23 dan U4 = 47, tentukana.Un;d.jumlah 4 suku pertama;b.U20;e.Un+ 1.c.U15 + U7;8.Diketahui rumus suku ke-(n + 1) dari suatu barisan bilanganadalah Un+ 1 = an + b. Jika U4 = 11 dan U2 + U7 = 27, tentukana.rumus Un+ 1;b.rumus Un;c.rumus Un – 1;d.jumlah 5 suku pertama;e.U10 + U15.
107Barisan dan Deret9.Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut, kemudiantentukan suku ke-10 dan ke-12.a.0, 5, 12, 21, ....b.2, 4, 8, 14, ....c.–2, 5, 16, 31, ....10. Diketahui Un–1 = an3 + b. Jika U2 = 50 dan U3 – U1 = 112maka tentukana.nilai a dan b;b.rumus Un–1;c.rumus Un;d.rumus Un+1;e.U4 dan U5.B. Barisan dan Deret Aritmetika1. Barisan AritmetikaIndah menyisihkan sebagaian uang yang dimilikinya untukdisimpan. Pada bulan ke-1, ia menyimpan Rp20.000,00. Bulanberikutnya ia selalu menaikkan simpanannya Rp500,00 lebihbesar dari bulan sebelumnya. Bear simpanan (dalam rupiah) Indahdari pertama dan seterusnya dapat ditulis sebagai berikut.Bulan Ke-1 Bulan Ke-2Bulan Ke-3 Bulan Ke-4...20.00020.50021.00021.500...Jika kalian amati, selisih suku barisan ke suku berikutnyaselalu tetap, yaitu 500.Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yangselisih setiap dua suku berturutan selalu merupakanbilangan tetap (konstan).Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkandengan b.Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.a.1, 4, 7, 10, 13, ...b.2, 8, 14, 20, ...c.30, 25, 20, 15, ...Barisan seperti ini dinamakan barisan aritmetika.Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.
108Khaz Matematika SMA 3 BhsBarisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmetika.Mari kita tinjau satu per satu.a.1, 4, 7, 10, 13, ...+3+3 +3+3Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari sukusebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa bedasukunya 3 atau b = 3.b.2, 8,14, 20, ... +6 +6 +6Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari sukusebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa bedasukunya 6 atau b = 6.c.30,25, 20, 15, ... –5 –5–5Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari sukusebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa bedasukunya –5 atau b = –5.Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisanaritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan sukupertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan bdapat ditentukan seperti berikut.U1 = aU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = (a + b) + b= a + 2bU4 = U3 + b = (a + 2b) + b= a + 3bU5 = U4 + b = (a + 3b) + b= a + 4bMUn = Un–1 + b = a + (n – 1)bJadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalahUn = a + (n – 1)bKeterangan:Un= suku ke-na= suku pertamab=bedan= banyak suku
109Barisan dan DeretContoh 2:Contoh 1:Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....Jawab:–3, 2, 7, 12, ...Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh Un = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyaksuku barisan tersebut.Jawab:Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, danUn = 40.Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga40 = –2 + (n – 1)340 = 3n – 53n = 45Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.ProblemSolvingSuku ke-10 dan suku ke-14 dari barisan aritmetika berturut-turut adalah 7 dan 15. Tentukan suku pertama, beda, dan sukuke-20 barisan tersebut.Jawab:Diketahui U10 = 7 dan U14 = 15. Dari rumus suku ke-n barisanaritmetika Un = a + (n – 1)b, diperoleh 2 persamaan, yaituU10 = 7 sehingga diperoleh a + 9b = 7 ............................ (1)U14 = 15 sehingga diperoleh a + 13b = 15 ........................ (2)Untuk menentukan nilai a dan b, kita gunakan metodecampuran antara eliminasi dan substitusi. Dari persamaan (1)dan (2), diperoleha + 9b= 7a + 13b= 15–––––––––– ––4b= –6 b= 2Dengan menyubstitusikan b = 2 kepersamaan (1), diperoleha + 9(2) = 7 a = –11Dengan demikian, diperoleh suku ke-n adalah Un = –11 + (n – 1)2.Jadi, suku ke-20 adalah U20 = –11 + (20 – 1)2 = 27.
110Khaz Matematika SMA 3 BhsSoal Kompetensi 2• Kerjakan di buku tugas1.Pada barisan bilangan berikut, mana yang merupakanbarisan aritmetika? Berikan alasan.a.2, 4, 6, 8, 10, ...b.–5, 10, –15, 20, ...c.–12, 3, – 12, 28, ...d.127611652, ,, ,...e.2123,, , ,+++222 ...f.a, ab, ab2, ab3, ...g.a2, a2 + k3, a2 + 2k3, a2 + 3k2, ...h.<1,0,1323, ...3,2.Carilah suku-suku yang diminta pada barisan berikut ini.a.Suku ke-11 dari barisan –2, 3, 8, ...b.Suku ke-29 dari barisan 20, 17, 14, 11, ...c.Suku ke-21 dari barisan 1,45125, 2,...5,d.Suku ke-n dari barisan 6, 15, 24, ...3.Tentukan unsur-unsur yang ditanyakan pada barisanaritmetika berikut.a.a = 8, b = 5; U101 = ...b.a = 3, U15 = 143; b = ...c.b =15, U21 = 295; a = ...d.a = 12, b = 12 , Un = 316; n = ...e.U10 = 34, U17 = 62; a = ...f.U5 = 3, U12 = –18, a = ...; b = ...g.U4 = 4, U8 – U3 = 15, a = ...; b = ...h.3x + 1, 5x – 3, 6x – 4, ...; x = ...i.4x + 6, 2x + 7, x + 10, ...; x = ...4.Sisipkan beberapa bilangan agar membentuk barisanaritmetika.a.Empat bilangan di antara 10 dan 25b.Enam bilangan di antara –6 dan 29c.Tiga bilangan di antara 67 dan 7d.Lima bilangan di antara 2 dan 64
111Barisan dan DeretJendela InformasiInformasi lebih lanjut5.Misalkan a1, a2, dan a3 merupakan barisan aritmetika. Buktikanbahwa a2 = aa132+.6.Diketahui Un = suku ke-n barisan aritmetika sehingga Un–1 =Un– b. Nyatakan Un–2, ..., U3, U2, U1, dalam Un, b, dan n.7.Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 35 dansuku ke-9 adalah 43. Tentukan suku ke-35 dan suku ke-100.8.Penomoran kursi paling pinggir di sebuah gedung bioskopmembentuk barisan aritmetika. Jika baris ke-4 bernomor 37dan baris ke-10 bernomor 109, terletak di baris ke berapakahnomor 313?9.Jika suku kelima dari barisan aritmetika adalah 24 3 dansuku kedua belas barisan aritmetika adalah 25 3. Tentukansuku pertama, beda, dan suku kedua puluh satu barisan itu.10. Diketahui suatu sistem persamaan linear berikut.29228xyxy+=<<=< ̈©ªMisalkan x0 dan y0 merupakan penyelesaian dari persamaanlinear tersebut. Nilai x0 merupakan suku kedua dari barisantersebut dan y0 merupakan suku kelima barisan tersebut.Tentukan suku ke-7 dan ke-15 dari barisan itu.Pola Kuadrat dari Bilangan 9Apakah hasil kuadrat bilangan yang disusun dari angka 9memiliki pola tertentu? Betul sekali. Hasil kuadratnya hanyatersusun dari angka 9, 8, 1, dan 0. Jika bilangan terdiri atas ndigit angka 9 (n bilangan bulat kurang dari 10) maka kuadratbilangan tersebut adalah bilangan yang tersusun dari angka 9sebanyak n – 1, diikuti angka 8, kemudian angka 0 sebanyak n – 1,dan diakhiri angka 1. Perhatikan pola berikut.92 = 81992 = 98019992 = 99800199992 = 99980001999992 = 99998000019999992 = 999998000001Setelah memerhatikan pola di atas, coba kalian tentukan hasildaria.99999992b.999999992c.9999999992
112Khaz Matematika SMA 3 Bhs2. Deret AritmetikaDari sembarang barisan aritmetika, misalnya 2, 5, 8, 11, 14,... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahanberurut dari suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + ....Terlihat bahwa barisan aritmetika dapat dibentuk menjadi deretaritmetika dengan cara menjumlahkan suku-suku barisanaritmetika sehingga dapat didefinisikan secara umum.Seperti telah kalian ketahui, deret aritmetika adalah jumlahn suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama darisuatu barisan bilangan dinotasikan Sn. Dengan demikian,Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un.Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Sn,perhatikan contoh berikut.Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatubarisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deretaritmetika, denganUn = a + (n – 1)b.Contoh 1:Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukanjumlah kelima suku barisan tersebut.Jawab:Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskan sebagaiberikut.S5=2 + 5 + 8+ 11 + 14S5=14+ 11+ 8 + 5+ 22S5= 16 + 16 + 16 + 16 + 162S5=5 × 16S5=216 5× S5 = 40Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.+Setelah kalian amati contoh di atas, kita dapat menentukanrumus umum untuk Sn sebagai berikut.Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetikaadalah Un = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,U1 = a= aU2 = a + b= Un – (n – 2)bU3 = a + 2b= Un – (n – 3)bMMMUn = a + (n – 1)b= Un
113Barisan dan DeretDengan demikian, diperolehSn= a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)= a + (Un – (n – 2) b) + (Un – (n – 3) b) + ... + Un............ (1)Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah bkurang dari suku berikutnya.Un–1 = Un – bUn–2 = Un–1 – b = Un – 2bUn–3 = Un–2 – b = Un – 3bDemikian seterusnya sehingga Sn dapat dituliskanSn = a + (Un – (n – 1)b) + ... + (Un – 2b) + (Un – b) + Un ...... (2)Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperolehSn = a + (Un – (n – 2)b) + (Un – (n – 3)b) + ... + UnSn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + ... + a2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + ... + (a + Un)n sukuDengan demikian, 2Sn = n(a + Un)Sn = 21n(a + Un)Sn = 21n(a + (a + (n – 1)b))Sn = 21n(2a + (n – 1)b)Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah+Contoh 2:Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + ....Jawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.S100=21× 100 {2(2) + (100 – 1)2}= 50 {4 + 198}= 50 (202)= 10.100Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah10.100.Sn = 21n(a + Un) atauSn = 21n [2a + (n – 1)b]Keterangan:Sn= jumlah n suku pertamaa= suku pertamab=bedaUn= suku ke-nn= banyak sukuKuis• Kerjakan di buku tugasSebuah deret aritmetikamempunyai suku ketiga –11dan jumlah dua puluh sukuyang pertama 230. Jumlahsepuluh suku pertama deretitu adalah ....a. –40 d.–25b. –35 e.–20c. –30(UMPTN 1999)
114Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh 3:Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurangdari 100.Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9,12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut.Un= a + (n – 1)b99 = 3 + (n – 1)33n= 99n= 33Jumlah dari deret tersebut adalahSn = 21n(a + Un)S33 = 21× 33(3 + 99) = 1.683Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100adalah 1.683.Tugas: Eksplorasi• Kerjakan di buku tugasMisalkan jumlah n sukupertama dari deret aritmatikaadalah Sn. Berapakah nilaiSn + 3 – 3Sn+2 + 3Sn + 1 – Sn?ProblemSolvingDari suatu deret aritmetika diketahui suku pertamanya 11,bedanya 4, dan jumlah n suku pertamanya adalah 200. Tentukanbanyaknya suku dari deret tersebut.Jawab:Diketahui a = 11, b = 4, dan Sn= 200.Dari rumus umum jumlah n suku pertama, diperoleh Sn = 21n(2a + (n – 1)b) 200 = 21n [2(11) + (n – 1)4] 400 = n(22 + 4n – 4) 400 = n(4n + 18) 4n2 + 18n – 400 = 0Jika setiap suku dibagi 2, persamaan tersebut menjadi 2n2 + 9n – 200 = 0 (n – 8)(2n + 25) = 0 n = 8 atau n = 225< (diambil n positif karena n bilangan asli)Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 8.
115Barisan dan DeretMenentukan Suku ke-n jika Rumus Jumlah n Suku PertamaDiberikanMisalkan diberikan suku ke-n barisan aritmetika Sn. Rumus sukuke-n dapat ditentukan denganUn = Sn – Sn–1Selain dengan menggunakan rumus itu, ada cara lain yang sangatefektif. Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmetika adalahSn = pn2 + qn.Suku ke-n dapat ditentukan denganUn = 2pn + (q – p)dengan beda 2p.Contoh:Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah Sn = 2n2 – 4n.Tentukan suku ke-n deret tersebut dan bedanya. Tentukan pulaU9Jawab:Sn= 2n2 – 4nAp = 2, q = –4Un= 2pn + (q – p)= 2 u 2 un + (–4 – 2)= 4n – 6Beda = 2p= 2(2) = 4Suku ke-10 dapat ditentukan dengan U9 = S9 – S8S9 = 2(92) –4(9) = 126S8 = 2(82) –4(8) = 96Jadi, U9 = 126 – 96 = 30Tunjukkan bahwa Un = Sn –Sn–1Petunjuk: Sn = U1 + U2 + U3+ ... + Un–1 +Un dan Sn–1 = U1+ U2 +U3 + ... + Un–1Tugas: Eksplorasi• Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 3• Kerjakan di buku tugas1.Hitunglah jumlah deret aritmetika berikut ini.a.1 + 4 + 7 + 10 + ... (20 suku)b.96 + 93 + 90 + ...(15 suku)c.–20 – 16 – 12 – 8 – ... (30 suku)d.1 + 3,5 + 6 + 8,5 + ... (12 suku)2.Tentukan unsur-unsur yang diminta.a.a = 5, U5 = 11, S20 = ...b.b = 2, S20 = 500, a = ...c.a = 15, b = –3, Sn = 42, n = ...d.a = 3, Un = 87, U6 + U7 = 39, Sn = ...
116Khaz Matematika SMA 3 Bhs3.Tentukan nilai m jikaa.5 + 8 + 11 + ... + m = 220;b.50 + 46 + 42 + ... + m = 330.4.Tentukan beda dan suku yang diminta untuk deret berikut.a.Sn = 3n2 – 9; U8b.Sn = 4(1 – n2) – 1; U11c.Sn = –2n2 + 1; U1005.Tentukan jumlah semua bilangan berikut.a.Bilangan asli ganjil kurang dari 100.b.Bilangan asli kurang dari 500 yang habis dibagi 5.c.Bilangan kelipatan 4 antara 25 dan 200.d.Bilangan asli kurang dari 300 yang tidak habis dibagi 6.e.Bilangan kelipatan 3 antara 25 dan 200.6.Seorang pemilik kebun memetik jeruk setiap hari, kemudianmencatat banyak jeruk yang dipetik. Ternyata, pada haripertama ia memperoleh hasil 75 buah. Hari kedua iamemperoleh 125 buah. Tentukan jumlah jeruk yang ia petikselama 20 hari pertama jika jumlah jeruk yang dipetikmengikuti pola barisan aritmetika.7. Di sebuah pabrik genting, seorang pekerja mampumenghasilkan 5 lusin genting dalam waktu 1 hari. Jika tiaphari ia diharuskan dapat menambah produksinya sebanyak1 lusin, dalam berapa harikah ia dapat menghasilkan 2.160buah genting?8.Bagan di samping adalah bagansuatu auditorium. Baris pertamamemuat 20 kursi, baris kedua 25kursi, barisan ketiga memuat 30kursi, dan seterusnya. Berapajumlah kursi yang ada jika dalamauditorium itu terdapat 12 baris?9.Dian dan Ferdi mulai menabung di bank pada saat yangsama. Pada awal menabung Dian menabung Rp80.000,00dan tiap bulan menabung Rp1.500,00 lebih banyak dari uangyang ditabungkan bulan berikutnya. Ferdi pada awalnyamenabung Rp100.000,00 dan bulan berikutnya menabungRp1.000,00 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Tentukanpada bulan keberapakah jumlah tabungan mereka tepat sama.10. Seorang pedagang meminjam modal x rupiah di BankWangsa dengan bunga tunggal 2% sebulan. Setelah satutahun, ia mengembalikan pinjaman dan bunga semuanyaRp310.000,00. Tentukan berapa rupiah modal yang dipinjamoleh pedagang tersebut.Gambar 3.1TantanganEksplorasi• Kerjakan di buku tugasSeorang salesman ber-keliling menawarkan pro-duknya dengan mengguna-kan sepeda motor. Misalkanpada minggu pertama iamelakukan perjalanan se-jauh 1.150 km dan setiapminggu berikutnya jaraknyaberkurang 75 km. Berapauang yang harus ia keluar-kan untuk mengisi bensinsampai dengan akhir bulanke-3 jika harga bensin perliternya Rp4.500,00 dan tiapliternya dapat menempuhjarak 30 km?
117Barisan dan DeretPythagorasSumber:segue.middlebury.eduJendela InformasiInformasi lebih lanjutApakah kamu tahu teorema yang dikemukakan Pierre deFermat (1601–1665)? Teorema ini dikembangkan dari teoremaPythagoras yang sangat masyur itu. Menurut teoremaPythagoras, ada banyak pasangan bilangan a, b, dan c yangmemenuhi c2 = a2 + b2, seperti 5, 3, dan 4 (besertakelipatannya); 13, 12, dan 5 (beserta kelipatannya); 25, 24,dan 7 (beserta kelipatannya); dan seterusnya.Pierre de Fermat mengklaim, tidak ada bilangan bulat a,b, dan c yang memenuhi cn = an + bn, untuk n > 2. Namun,pembuktiannya saat itu masih dipertanyakan. Banyak ilmuwanyang penasaran dengan teorema yang dilontarkan Fermat. PaulWolfskehl, profesor matematik asal Jerman, awal tahun 1900-an berusaha membuktikan teorema tersebut, namun gagal. Rasaprustasi menyelimutinya, ditambah kekecewaan padakekasihnya membuat ia berniat bunuh diri. Ketika waktu untukbunuh diri sudah dekat, ia masih penasaran dan mencoba lagimembuktikan Teorema Fermat membuat dia lupa untuk bunuhdiri. Sampai akhir hayatnya, teorema ini belum jugaterbuktikan. Wolfskehl berwasiat, ia menyediakan uang100.000 mark bagi orang pertama yang mampu membuktikanteorema itu. Tahun 1995, Dr. Andrew Wiles, matematikawandari Universitas Princeton, Inggris, berhasil membuktikanteorema Fermat dengan gemilang. Ia akhirnya mendapat hadiah200.000 dolar dari Yayasan Raja Faisal di Arab Saudi padatahun 1997.Sumber: www.mate-mati-kaku.comTeorema yang MengharukanC. Barisan dan Deret Geometri1. Barisan GeometriCoba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat,suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada sukusebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secaraumum, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yangsetiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengansuatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebutdinamakan rasio (pembanding)dan dinotasikan dengan r.Perhatikan contoh barisan-barisan berikut.a.3, 6, 12, 24, ...b.2, 1, 12, 14 ...c.2, –4, 8, –16, ...
118Khaz Matematika SMA 3 BhsBarisan di atas merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisandi atas berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut.a.63==1262412 = ... = 2. Jadi, r = 2.b.122==114121 = 12 . Jadi, r = 12.c.<=<4248 = –2. Jadi, r = –2.Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U1, U2, ...Un barisangeometri dengan Un adalah rumus ke-n, berlakur = UUnn<1Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama(U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.U1 = aU2 = U1×r = arU3 = U2×r = ar2U4 = U3×r = ar3MMUn = Un–1×r = arn–2×r = arn–1Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, ..., arn–1,...Jadi, rumus umum suku ke-n (Un) barisan geometri adalahUn = arn–1Keterangan: a= suku pertamar= rasion= banyak sukuKuis• Kerjakan di buku tugasTiga bilangan merupakanbarisan geometri denganrasio lebih besar dari satu.Jika bilangan ketiga diku-rangi 3 maka akan terbentukbarisan aritmetika denganjumlah 54. Selisih sukuketiga dengan suku pertamabarisan aritmetika tersebutadalah ....a. 8d.14b. 10e.16c. 12Kompetisi MatematikaDKI, 2000Contoh:Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisangeometri berikut.a.2, 6, 18, 54, ...b.9, –3, 1, <13, ...Jawab:a.2, 6, 18, 54, ...Dari barisan geometri di atas, diperoleh1) suku pertama: a = 2;2) rasio: r = 2612=UU = 3
119Barisan dan DeretKarena rumus suku ke-n barisan geometri adalahUn = arn–1 makaU7= 2(37–1)= 2 × 729= 1.458b.9, –3, 1, 31<, ...Dari barisan ini, diperoleh1) suku pertama: a = 9;2) rasio: r = UU213139=<=<;3) suku ke-7: U7 = 9 (<13)7–1 = 9(<13)6 = 9181(3)6<=.ProblemSolvingTiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketigabilangan itu 21 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilanganitu.Jawab:Pemisalan yang mudah untuk barisan geometri adalah ra, a,dan ar.Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21 maka ra + a + ar = 21.Hasil kali ketiga bilangan adalah 216 maka ra× a × ar = 216a3 = 216Karena a3 = 216, diperoleh a = 6. Kemudian, substitusikannilai a = 6 ke persamaan araar++ =21 sehingga diperolehhasil sebagai berikut.r6 + 6 + 6r = 21 ........... (kedua ruas dikalikan dengan r) 6 + 6r + 6r2 = 21r 6 – 15r + 6r2 = 0 ........................... (kedua ruas dibagi 3) 2r2 – 5r + 2 = 0 (2r – 1)(r – 2) = 0Kuis• Kerjakan di buku tugasJika k + 3, 5k – 9, 11k + 9membentuk barisan geo-metri maka jumlah semuanilai k yang memenuhiadalah ....a.664d.6610b.665e.6611c.667(UMPTN 2001)
120Khaz Matematika SMA 3 Bhs 2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0r = 21 atau r = 2Dari persamaan di atas, diperoleh r = 21 dan r = 2.Untuk r = 21 dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 12, 6, dan 3.Untuk r = 2 dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 3, 6, dan 12.Tugas: Investigasi• Kerjakan di buku tugasAdakah cara lain untuk me-ngerjakan cara ini? Bagaima-na jika kalian menggunakanpemisalan a, ar, dan ar2untuk ketiga bilangan itu?Coba kerjakan. Apa kesim-pulanmu?Jendela InformasiInformasi lebih lanjutPola Bilangan yang IndahPerhatikan pola bilangan berikut.1 × 8 + 1 = 912 × 8 + 2 = 98123 × 8 + 3 = 9871234 × 8 + 4 = 987612345 × 8 + 5 = 98765123456 × 8 + 6 = 987654Bandingkan dengan pola bilangan berikut.0 × 9 + 1 = 11 × 9 + 2 = 1112 × 9 + 3 = 111123 × 9 + 4 = 11111234 × 9 + 5 = 1111112345 × 9 + 6 = 111111123456 × 9 + 7 = 1111111Dari kedua pola bilangan di atas, dapatkah kalian menemukanbentuk umumnya?Dengan memerhatikan bentuk umum kedua pola bilangan diatas, tentu kalian dapat dengan mudah menentukan hasil daripertanyaan berikut.a.1234567 × 8 + 7 = ...b.12345678 × 8 + 8 = ...c.123456789 × 8 + 9 = ...d.1234567 × 9 + 8 = ...e.12345678 × 9 + 9 = ...Coba kalian kerjakan.
121Barisan dan Deret5.Misalkan bakteri membelah menjadi 2 bagian tiap 20 menit.Jika pada pukul 15.00 ada 100 bakteri, tentukan banyakbakteri pada pukul 20.00 pada hari yang sama.6.Selembar kertas yang tebalnya 0,01 cm dilipat sehinggasebagian terletak di atas yang lain.a.Berapa tebal lipatan itu jika melipatnya dilakukan hingga10 kali?b.Berapa kali paling sedikit harus melakukan lipatan agartebal lipatan kertas tidak kurang dari 5 cm?7.Perhatikan Gambar 3.2. Jari-jari lingkaran pertama adalah1 cm dan U1, U2, U3, ... merupakan barisan geometri. Jikaluas lingkaran kedua 16/ cm2, tentukan jari-jari lingkarankeempat.U1U2U3U4Gambar 3.2Soal Kompetensi 4• Kerjakan di buku tugas1.Tentukan suku-suku sesuai yang diminta.a.Suku ke-8 dari barisan 7, 21, 63, 189, ...b.Suku ke-6 dari barisan 54, –18, 6, –2 ...c.Suku ke-7 dari barisan 338163432,,,,...d.Suku ke-10 dari barisan 1, 3, 3, 33, ...2.Tentukan unsur yang diminta pada barisan geometriberikut.a.a = –3, U4 = 91; r = ...b.U3 = 8, U4 = 32; a = ...c.U2 = 250, U4 = 6.250; a = ...d.U2 = 12, U5 = –324; r = ...e.k – 2, k – 6, 2k + 3, ...; k = ...3.Sisipkan beberapa bilangan agar membentuk barisangeometri.a.Tiga bilangan antara 4 dan 324b.Lima bilangan antara –1 dan –15.625c.Empat bilangan antara 31 dan 1023Petunjuk: Menyisipkan p bilangan di antara bilangan mdan n agar membentuk barisan geometri berarti sukupertama m dan suku ke-(p + 1) adalah n.4.Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika hasil kaliketiga bilangan itu adalah 512 dan jumlahnya 28.Tentukan ketiga bilangan itu.
122Khaz Matematika SMA 3 Bhs–2. Deret GeometriJika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri makaU1 + U2 + U3 + ... + Unadalah deret geometri dengan Un= arn–1.Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama darideret geometri dapat diturunkan sebagai berikut.Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.Sn = U1 + U2 + ... + UnSn = a + ar + ... + arn–2 + arn–1 .............................................. (1)Jika kedua ruas dikalikan r, diperolehrSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn ................................... (2)Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperolehrSn= ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arnSn= a + ar + ar2 + ar3 +... + arn–1rSn – Sn = –a + arn (r – 1)Sn = a(rn – 1) Sn = 1 1) (<<rranJadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometriadalah sebagai berikut.Kuis• Kerjakan di buku tugasAda barisan bilangan 4, x, y, zdiketahui tiga suku pertamamembentuk barisan geome-tri dan tiga suku terakhirmembentuk barisan aritme-tika. Nilai x + y = ....a. 1 atau 11b. –1 atau 14c. 0 atau 15d. 2 atau 17e. 2 atau 10Olimpiade 20028.Dari suatu barisan geometri diketahui hasil kali suku keduadengan suku kesembilan adalah –18 dan hasil kali sukukeempat dengan suku kesepuluh adalah 94. Tentukan sukukeenam barisan tersebut.9.Pada barisan geometri, diketahui:U1 + U2 + U3 = 20U1 + U3 + U5 = 62U3 + U4 + U5 = 84Tentukan U1, U3, dan U6.10. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketigabilangan adalah 13. Jika bilangan ke-12 ditambah 2 makabarisan itu akan menjadi barisan aritmetika. Tentukan hasilkali ketiga bilangan semula.
123Barisan dan DeretContoh 1:Sn = 1 1) (<<rran , untuk r > 1Sn = rran 1) (1<< , untuk r < 1Keterangan: Sn= jumlah n suku pertamaa= suku pertamar= rasion= banyak sukuApa yang terjadi jika r bernilai 1?Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.a.2 + 4 + 8 + 16 + ...(8 suku)b.12 + 6 + 3 + 1,5 + ...(6 suku)Jawab:a.2 + 4 + 8 + 16 + ...Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 24 = 2 (r > 1).Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.Sn = 1 1) (<<rran S8=1 21) 2(28<<= 2(256 – 1)= 510Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.b.12 + 6 + 3 + 1,5 + ...Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r = 21126=(r < 1).Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6. Sn= rran 1) (1<< S6= 21621 1))( 12(1<<= 24(1 – 641)= 2358
124Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh 2:Diketahui deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363. Tentukana.suku pertama;c.banyak suku.b.rasio;Jawab:Deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363a.Suku pertama: a = 3b.Rasio: r = 33212=UU = 3c.Untuk Sn = 363Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus Sn = 1 1) (<<rran 363 = 1 3)1 3(3<<n 726 = 3n+1 – 3 3n+1 = 729 3n+1 = 36Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi,banyak suku dari deret tersebut adalah 5.Kuis• Kerjakan di buku tugasSuku ke-5 dari barisan geo-metri k, 3k, 8k + 4, ... adalah....a. 81d.648b. 162 e.1.296c. 324Kompetisi MatematikaDKI, 2000Contoh 3:Carilah n terkecil sehingga Sn > 1.000 pada deret geometri1 + 4 + 16 + 64 + ...Jawab:Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehinggajumlah n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.Sn = arrnnn(<<=<<=<1)11(41)41413Nilai n yang mengakibatkan Sn > 1.000 adalah4 13n< > 1.000 4n > 3.001Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh log 4n > log 3.001n log 4 > log 3.001n > loglog 3.001 4n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilailogaritma)Jadi, nilai n terkecil agar Sn > 1.000 adalah 6.
125Barisan dan DeretProblemSolvingTentukan rumus jumlah n dari deret 1 + 11 + 111 + 1.111 + ...Jawab:Jika kalian perhatikan sekilas, deret ini bukan merupakan deretaritmetika maupun geometri. Namun, coba perhatikanpenjabaran berikut.1 + 11 + 111 + 1.111 + ... = 19× 9(1 + 11 + 111 + 1.111 + ...)= 19× (9 + 99 + 999 + 9.999 + ...)= 19× ((10 – 1) + (100 – 1) + (1.000 – 1) + (10.000 – 1) + ... )= 19×((....) (...))10 100 1 0001 1 1++ +<+++deret geometrideret konstan12444344412434= 191010110 11×<<£¤²¥¦ ́<×£¤²¥¦ ́()()nn= 19101091nn+<£¤²¥¦ ́<£¤²¥¦ ́= 191091091nn+<<£¤²¥¦ ́Soal Kompetensi 5• Kerjakan di buku tugas1.Tentukan jumlah deret geometri di bawah ini.a.2 + 6 + 18 + 54 + ...; S10b.1 – 3 + 9 – 27 + 81 – ...; S15c.114116218+++ ...; S6 = ...2.Tentukan unsur yang diminta pada deret geometri berikut.a.a = 2, r = 5; S5 = ...b.r = 12, S4 = 155; a = ...c.r = 13, n = 5, Sn = 1.820; a = ...d.a = 9, r = 2, Sn = 567; n = ...e.a = 2, S4 = –102; r = ...f.U4 = k – 2, r = 2; Sn = ...Kuis• Kerjakan di buku tugasDiketahui bilangan a + 1,a – 2, a + 3 membentuk ba-risan geometri. Agar ketigasuku ini membentuk barisanaritmetika maka suku ketigaharus ditambah dengan ....a. –8b. –6c. 5d. 6e. 8Kompetisi MatematikaDKI, 2000
126Khaz Matematika SMA 3 Bhs3.Tentukan nilai n.a.2 + 22 + 23 + ... + 2n = 510b.a = 3 dan r = 2 sehingga Sn > 108c.8(14 716knk=-*1)d.321kkn 40(3 3=+=-)4.Suatu tali dibagi menjadi 5 bagian dengan panjang bagian-bagiannya membentuk barisan geometri. Jika yangterpendek 4 cm dan terpanjang 324 cm, tentukan panjangtali semula.5.Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Setiapmengenai lantai, bola memantul kembali secara vertikalsetinggi 34 dari ketinggian sebelumnya. Berapa panjanglintasan bola itu sampai mengenai lantai yang keenamkalinya?6.Jumlah penduduk di suatu daerah 200.000 jiwa. Setiaptahunnya pertambahan penduduk mencapai 5%. Tentukanjumlah penduduk 5 tahun ke depan (dengan asumsi selamalima tahun itu tidak terjadi kematian maupun perpindahanpenduduk).7.Seorang pedagang membuka rekening tabungan di sebuahbank. Pada awal menabung, ia menabung sebesarRp100.000,00. Ternyata usahanya sukses sehingga tiap bulania dapat menabung 112 kali dari tabungan bulan sebelumnya.Berapakah jumlah tabungannya setelah 1 tahun?8.Kereta api bergerak dengan kecepatan awal 20 km/jam. Tiapjam kecepatannya bertambah naik 1,2 kali lipat darikecepatan sebelumnya.Tentukan:a.kecepatan kereta api setelah 5 jam berjalan;b.jarak seluruhnya yang ditempuh kereta api selama 5 jamperjalanan.9.Akar persamaan kuadrat 2x2 – 20x + (7k – 1) = 0 merupakansuku pertama dan suku ke-2 suatu deret geometri yangrasionya lebih besar 1. Jika kedua akar berbanding 2 dan 3,tentukana.suku ke-3;b.suku ke-5;c.jumlah kelima suku pertama.Kuis• Kerjakan di buku tugasBesar suku ke-p dari suatuderet geometri adalah 2p,sedangkan suku ke-2padalah p. Jumlah p sukupertama deret itu adalah ....a.21pp<b.221pp<c.212p<d.12+pe.12<pKompetisi MatematikaDKI, 2000
127Barisan dan Deret10. Pada suatu deret geometri ditentukan jumlah suku pertamadan suku kedua adalah 4, Un–1 + Un = 108, dan jumlah nsuku pertama adalah 121. Tentukan rasio deret geometritersebut.3. Deret Geometri Tak BerhinggaDeret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruhsukunya disebut deret geometri tak berhingga. Perhatikan deretgeometri berikut.a.1 + 2 + 4 + 8 + ...c.1 + 12 + 14 + ...b.5 – 10 + 20 – 40 + ...d.9 – 3 + 1 – 13 + ...Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri takberhingga.Dari contoh a dan b, rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2.Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besardan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen,dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio masing-masing deret 12 dan –13. Dari contoh c dan d, dapat kita hitungpendekatan jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergendengan | r | < 1. Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunyatidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekatiharga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhinggasuku yang dinotasikan dengan 'S. Nilai 'S merupakan nilaipendekatan (limit) jumlah seluruh suku (Sn) dengan n mendekatitak berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapatditurunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r,dan nA'.'S= 'AnlimSn = 'Anlimarrn(1 )1 <<.Karena deret konvergen (| r | < 1), untuk nA' maka rnA0sehingga'S= lim()lim.nnnnarraarrararA'A'<<=<<=<<=<111011Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah'S = ar1 <, dengan | r | < 1Untuk kalian ketahui,limnnrA'= 0, dengan r konver-gen (–1 < r < 1 ).Bentuk itu dibaca limit rpangkat n, untuk n mende-kati tak berhingga samadengan nol. Materi limitfungsi tidak kalian pelajaridi SMA. Kalian cukupmengikutinya.Perhatian
128Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh 1:Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.a.1 + 4121+ + 18+...b.2211214++ + +....Jawab:a.1 + 4121+ + 18+...Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = 21 sehinggaSar'=<=<==1 11 1 21212b.2211214++ + +...Perhatikan deret 211214116++ + + +....Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 21.Sar'=<=<=1 21 412Jadi, 2211214++ + +.... = 24 = 16.TantanganEksplorasi• Kerjakan di buku tugasSebuah bola tenis dijatuhkandari ketinggian 715 m danmemantul kembali denganketinggian 45 kali keting-gian semula. Pemantulanterjadi terus-menerus sam-pai bola berhenti. Tentukanpanjang seluruh lintasanbola sampai berhentiKompetisi MatematikaDKI, 2000Contoh 2:Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampaitak berhingga adalah 4. Carilah rasionya.Jawab:Dari soal di atas, unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan'S = 4.Kita substitusikan ke dalam rumus 'S.'S = ra 1< 4 = r 12< 1 – r = 21 r = 21Jadi, rasionya adalah 21.
129Barisan dan DeretContoh 3:Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembalidengan ketinggian 34 kali tinggi sebelumnya. Pemantulanberlangsung terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukanjumlah seluruh lintasan bola. (UMPTN 1995)Jawab:U0= 10 m; r = 34U1= 3410× m= 304 mSn= 10 + 2S'= 10 + 2 ×<Ur11= 10 + 2 ×<304341= 10 + 2 × 3= 70 mDengan cara lain:Misalnya suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H0 secaravertikal dan memantul ke atas dengan tinggi pantulan ab kalidari ketinggian semula maka panjang lintasan pantulan (H)hingga berhenti dirumuskan dengan:H = baba+<£¤¥¦H0Dengan menggunakan cara ini, diketahui a = 3, b = 4, danH0 = 10 m.Jadi, H= baba+<£¤¥¦H0= 3443+<£¤¥¦× 10= 7 × 10 = 70 mTantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasSebuah bola dijatuhkan kelantai dari tempat yangtingginya 1 meter. Setiapkali setelah bola itu meman-tul, bola itu mencapai ke-tinggian seperlima daritinggi sebelumnya. Tentukanpanjang lintasan bola sampaiberhenti.Misalkan suatu benda dija-tuhkan dari ketinggian H0dan memantul ke lantai.Ketinggian pantulan men-capai ab, dengan a > b; adan b bilangan bulat.Tunjukkan bahwa panjanglintasan total bola hinggaberhenti (H) adalahHbabaH=+<£¤¥¦0Tugas: Investigasi• Kerjakan di buku tugas
130Khaz Matematika SMA 3 BhsMariBerdiskusiEksplorasiDiketahui deret geometri tak berhingga berikut.a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ...Deret suku-suku ganjilnya adalah a + ar2 + ar4 + ...Deret suku-suku genapnya adalah ar + ar3 + ar5 + ...Tunjukkan bahwa jumlah suku-suku ganjilnya adalah ar12< ;jumlah suku-suku genapnya adalah arr12<Soal Kompetensi 6• Kerjakan di buku tugas1.Tentukan batas-batas nilai x agar barisan geometri: 2, 2(3 – x),2(3 – x)2, 2(3 –x)3, ... konvergen.2.Tentukan jumlah dari deret geometri tak berhinggaberikut.a.12 + 4 + 131 + ...b.... 64116141 1++++c.–72 – 60 – 50 – ...d.<< < <11214...e.10211214++ + +...3.Tentukan unsur-unsur yang ditanyakan pada deretgeometri di bawah ini.a.'S = 8, r = –41; a = ...b.'S = 36, a = 18; r = ...c.Un = n23; 'S = ...d.S' = 4, r = 12, a = ....e.a = 10, r = 13, S' = ....f.a = 20, r = <14, S' = ....
131Barisan dan Deret4.Tentukan jumlah suku-suku ganjil dan jumlah suku-sukugenap dari deret berikut.a.4 + 2 + 1 + 12 + ...b.12 + 181321128++ + ...5.Sebuah ayunan di sebuah rumah digunakan untuk mainananak. Dengan sekali ayun, panjang lintasan pertama 120 cm,panjang lintasan berikutnya 107 dari panjang lintasansebelumnya. Berapa panjang lintasan seluruhnya hinggaayunan berhenti?6.Seorang anak bermain gasing di halaman rumahnya. Padadetik pertama, gasing berputar sebanyak 16 kali. Detikberikutnya, gasing hanya berputar 85 kali dari banyakputaran pada detik sebelumnya. Berapa banyak putaransampai gasing berhenti berputar?7.Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 20 m danmemantul kembali dengan ketinggian 37 kali ketinggiansemula. Pemantulan terjadi terus-menerus sampai bolaberhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola yang terjadi.8.Diketahui deret geometri dirumuskan dengan Un = 5–n.Tentukan jumlah tak berhingga dari deret tersebut.9.Jumlah semua suku dari deret geometri tak berhingga adalah12. Jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukansuku ke-7 dari suku-suku bernomor ganjil.10. Dari suatu deret geometri konvergen, diketahui selisih U1dan U3 adalah 8 dan 3log U1 + 3log U2 + 3log U3 = 3. Tentukanjumlah tak berhingga suku deret geometri tersebut. (Ingatkembali materi logaritma di kelas X).Kuis• Kerjakan di buku tugasSegita ABC sama sisi danluasnya 1 satuan. Di dalamsegitiga ABC dibuat segitigadengan titik sudutnya ber-impit dengan pertengahansisi-sisi segitiga pertama.Selanjutnya, dibuat segitigasama sisi dengan titik sudutpertengahan sisi-sisi segitigatersebut. Proses ini dilanjut-kan terus-menerus . Luassegitiga yang ke-6 adalah ....satuan luas.a.14 096.d.164b.11 024.e.132c.1729(Olimpiade 2000)APRQKLMBCJendela InformasiInformasi lebih lanjut”Small is beautiful”, demikian salah satu slogan yangdipegang banyak matematikawan dalam membuktikan teori-teori matematis. Thomas Aquino, pada abad XIII sudah melihathubungan antara keindahan dan matematika. Dia mengatakan,”Indra itu senang dengan sesuatu yang proporsinya tepat”.Proporsi yang tepat itu dapat diterjemahkan dalam keserasian,keteraturan, keselarasan, keseimbangan, dan keutuhan.Keindahan Matematika dalam Deret
132Khaz Matematika SMA 3 BhsD. Penerapan Konsep Barisan dan DeretSumber:www.digitalguide.comSumber:www.anomalies.netSumber:www.exterpassive.comKaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudah-kan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikanproduksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikanpersoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah per-soalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri,deret aritmetika ataupun deret geometri. Kemudian, kita dapatmenyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumusyang berlaku.Sumber:www.goingnativegardentour.org(c) Sarang tawonmadu(d) Bunga matahari(a) Cangkang siput(b) Bunga asterJika kita jeli, alam menyediakan banyak sekali keindahanmatematis. Coba kalian perhatikan, spiral geometris padacangkang sarang siput (Nautilus), susunan sel segi enam padasarang tawon madu, susunan mahkota bunga aster, susunanmahkota dan biji bunga matahari, dan masih banyak yang lainnya.Susunan-susunan objek di atas berkaitan barisan atau deretmatematis.Sumber: Happy with Math, 2007Contoh 1:Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digajiRp700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannyaakan naik sebesar Rp125.000,00. Demikian seterusnya untuktahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untukmasa kerjanya sampai pada tahun ke-9?
133Barisan dan DeretJawab:Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika.Suku awal a = 700.000Beda b = 125.000n = 9Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut.Un= a + (n – 1)bU9= 700.000 + (9 – 1) 125.000= 700.000 + 1.000.000= 1.700.000Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9 adalahRp1.700.000,00.Contoh 2:Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di suatubank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhirbulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakahuang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidakpernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1?Jawab:Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00.Pada akhir bulan ke-1Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut.Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 × 0,01Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01)= 50.000(1 + 0,01)= 50.000(1,01)Pada akhir bulan ke-2Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah jumlahuang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diper-oleh 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)= 50.000(1,01)(1 + 0,01)= 50.000(1,01)2Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 0,01)= 50.000(1,01)Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah50.000(1,01) + 50.000(1,01)2.TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasSetiap tahun, jumlah pen-duduk suatu kota bertambahmenjadi tiga kali lipat darijumlah penduduk tahunsebelumnya. Menurut taksir-an, jumlah penduduk padatahun 2009 penduduk kotatersebut akan mencapai 3,2juta jiwa. Berdasarkan infor-masi ini, tentukan jumlahpenduduk pada tahun 1959.
134Khaz Matematika SMA 3 BhsPada akhir bulan ke-3Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah50.000(1,01)2 + (50.000(1,01)2× 1%)= 50.000(1,01)2 (1 + 0,01)= 50.000(1,01)2 (1,01)= 50.000(1,01)3Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)= 50.000(1,01)(1 + 0,01)= 50.000(1,01)(1,01)= 50.000(1,01)2Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%)= 50.000(1,01)Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah50.000(1,01) + 50.000(1,01)2 + 50.000(1,01)3Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12.Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkanbahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah50.000(1,01) + 50.000(1,01)2 + 50.000(1,01)3 + ... +50.000(1,01)12 = 50.000{1,01 + (1,01)2 + (1,01)3 + ... + (1,01)12}Deret 1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12 merupakan deret geometridengana = 1,01, r = 1,01, dan n = 12.S12= 1, 01((1, 01)1)1, 01 112<<= 1, 01(0,127)0, 01= 12,83Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah50.000 {1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12} = 50.000 × 12,83= 641.500Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalahRp641.500,00.Soal Kompetensi 7• Kerjakan di buku tugas1.Suatu perusahaan memproduksi TV sebanyak 15.000 unitpada awal tahun pendiriannya. Ternyata, tiap tahunperusahaan tersebut dapat menambah produksinyasebesar 500 unit. Jika perusahaan tersebut didirikan tahun1994, berapa unit TV-kah yang telah diproduksiperusahaan itu sampai akhir tahun 2008?
135Barisan dan Deret2.Selama 4 tahun berturut-turut jumlah penduduk di KotaA membentuk deret aritmetika. Jumlah penduduk padatahun ke-4 adalah 17 juta jiwa. Selisih penduduk padatahun ke-2 dan ke-4 adalah 10 juta jiwa. Tentukan berapajiwakah jumlah penduduk pada akhir tahun ke-3?3. Seorang buruh pabrik mendapat gaji permulaanRp500.000,00 per bulan. Tiap tahun ia mendapat kenaikangaji Rp50.000,00. Tentukan jumlah pendapatannyasetelah 10 tahun bekerja di pabrik tersebut.4.Populasi serangga di suatu tempat pada tanggal 5 Februari2008 adalah 100.000 ekor. Tiap 3 hari sekali bertambah15% dari jumlah semula. Berapa banyak serangga tersebutpada tanggal 6 Maret 2009?5.Tia mendapatkan hadiah dari orang tuanya setiap ulangtahun berupa tabungan di bank sebesar Rp100.000,00.Jika bank itu memberikan bunga majemuk sebesar 12%setiap tahunnya, berapakah uang Tia setelah ia berumur25 tahun?6. Harga suatu mesin pada saat pembelian adalah10.000.000,00. Setiap tahun menyusut 15% terhadap nilaiawal permulaan tahun. Berapa harga mesin tersebut padaakhir tahun ke-8?7.Suatu bola dilempar dari ketinggian 100 meter. Setiapmenyentuh lantai, bola akan memantul kembali denganketinggian 54 kali dari ketinggian sebelumnya. Berapajarak yang ditempuh bola sampai bola berhenti?8.Jumlah bangunan di sebuah kota tiap sepuluh tahunmenjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan pada tahun2020 nanti akan mencapai 2,8 juta bangunan. Tentukanjumlah bangunan kota tersebut pada saat perhitunganpertama yaitu tahun 1950.9.Pada tanggal 1 Januari 2000, Robin menabung di bankRp100.000,00 dengan suku bunga 12% per tahun.Demikian juga pada 1 Januari tahun-tahun berikutnyasampai 10 kali. Tentukan jumlah tabungan Robin padatahun 2010.10. Wenny mempunyai pita rambut yang panjangnya 20 m.Untuk meringkas penyimpanannya, ia melipat pita itumenjadi 2 bagian dan seterusnya sehingga panjang pitayang ia peroleh 15,625 cm. Berapa kali Wenny harusmelipat pita tersebut?Gambar 3.3 Bola me-mantul
136Khaz Matematika SMA 3 BhsE. Notasi SigmaSalah satu ciri matematika adalah digunakannya lambanguntuk mengungkapkan suatu pernyataan secara singkat, jelas,dan konsisten yang jika diungkapkan dengan kalimat biasa cukuppanjang. Salah satu lambang yang penting adalah ”-” (dibaca:sigma). Lambang ini digunakan untuk menuliskan penjumlahansecara singkat.1. Pengertian Notasi SigmaPerhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini.1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50Jika semua suku-sukunya ditulis, cara penulisan penjumlahantersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika banyak bilangan yangdijumlahkan makin besar. Dengan menggunakan notasi sigma,penulisan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 dipersingkat men-jadi -=501kk(dibaca: sigma k mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50).Atau, boleh dibaca sigma k, untuk k = 1 hingga 50.Huruf k digunakan sebagai variabel suku yang akan bergerakmulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50. Bilangan 1 disebutbatas bawah dan 50 disebut batas atas penjumlahan.Secara umum, notasi sigma dinyatakan sebagai berikut.-=nkkU1 = U1 + U2 + ... + UnKeterangan: 1= batas bawahn= batas atask= indeksUk= suku ke-kBatas bawah tidak harus bernilai 1. Jika batas bawah penjum-lahan 1 dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri atas n suku,sedangkan jika batas bawahnya r dan batas atasnya n makapenjumlahan terdiri dari (n – r + 1) suku.Contoh 1:Nyatakan dalam bentuk penjumlahan kk k(1)+=-15.
137Barisan dan DeretContoh 2:Jawab:-=+511)(k kk= 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1)=1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + 5 × 6= 2 + 6 + 12 + 20 + 30Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma.a.2 + 4 + 6 + 8 + 10b.54433221+<+<c.ab5 + a2b4 + a3b3 + a4b2Jawab:a.2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 + 2× 5= 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)=-=512kkb.54433221+<+<= (–1)1 11+ + (–1)21 22+ + (–1)31 33++ (–1)41 44+ = -=+<411 .)1(kkkkc.ab5 + a2b4 + a3b3 + a4b2=a1b6–1 + a2b6–2 + a3b6–3 + a4b6–4=-=<416kkkba2. Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakandengan Notasi SigmaNilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigmadapat dicari, antara lain dengan terlebih dahulu menyatakan kedalam bentuk lengkapnya, kemudian dijumlahkan. Perhatikancontoh-contoh berikut ini.Contoh:Tentukan nilai-nilai notasi sigma berikut.a.pp=-110b.22nn=-36
138Khaz Matematika SMA 3 BhsJawab:a.-=101pp= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10=55b.-=6322nn= 2(32) + 2(42) + 2(52) + 2(62)= 18 + 32 + 50 + 72= 1723. Sifat-Sifat Notasi SigmaUntuk mempermudah perhitungan yang berhubungandengan notasi sigma, dapat digunakan sifat-sifat yang berlakupada notasi sigma. Sifat apakah yang berlaku pada notasi sigma?Lakukan Aktivitas berikut.AktivitasTujuan:Menemukan sifat-sifat yang berlaku padanotasi sigma.Permasalahan:Sifat-sifat apakah yang berlaku pada notasisigma?Kegiatan:Kerjakan soal-soal berikut.1. Nyatakan notasi sigma berikut dalambentuk penjumlahan biasa.a.Ukk=-16b.Uii=-16c. Bandingkan hasil antara a dan b.Apa kesimpulanmu?2. Tentukan nilai penjumlahan yangdinyatakan dalam notasi sigmaberikut.a. Apakah 537k=- hasilnya samadengan (7 – 3 + 1) × 5?b.325kk=-
139Barisan dan Deretc.325kk=-d. Bandingkan hasil antara c dan d. Apakesimpulanmu?Kesimpulan:Sifat-sifat apakah yang kalian temukan?Dari Aktivitas di atas diperoleh sifat-sifat berikut.a.--===qpiiqpkkUUb.ckpq=- = (q – p + 1)c, c = konstanta, c D Rc.--===qpikqpkkUccUSifat-sifat lain yang berlaku pada notasi sigma adalah sebagaiberikut.Untuk Uk dan Vk adalah rumus umum suku ke-k dan p, q D B,berlakud.( UVUVkkkpqkkpqkkpq±=±===---)e.UUUkkpnkknqkkpq==+=---+=1f.1)UUkkpqkakpaqa=<=++--=2)UUkkpqkakpaqa=+=<<--=g.pppkkUU=-=h.----====+±=±qpkkkqpkkqpkkkqpkkVVUUVU222 2 ) (Bukti:Pada kali ini, akan dibuktikan sifat b dan e saja.
140Khaz Matematika SMA 3 BhsSifat b:ckpq=-= cccccqp++++ ++...(–)1 suku124443444= (q – p +1)c ... (terbukti)Sifat e:UUkkpnkknq==+--+1=(Up + Up + 1 + ... + Un) + (Un + 1 + Un +2 + ... +Uq)= Up + Up +1 + ... + Un + Un + 1 + ... + Uq= Ukkpn=- ......................................... (terbukti)Sekarang, mari kita gunakan sifat-sifat di atas untukmenyelesaikan permasalahan notasi sigma, seperti contoh-contohberikut.Tugas: Eksplorasi• Kerjakan di buku tugasCoba kalian buktikan kebe-naran sifat-sifat notasi sigmadi atas selain sifat b dan e.Contoh 1:Hitunglah nilai dari )4 (412kkk<-=.Jawab:Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soaldi atas.Cara 1:)4 (412kkk<-==(12 – 4(1)) + (22 – 4(2)) + (32 – 4(3)) +(42 – 4(4))= (1 – 4) + (4 – 8) + (9 – 12) + (16 – 16)= – 3 – 4 – 3 + 0= –10Cara 2:)4 (412kkk<-==--==<414124 kkkk=--==<414124 kkkk=(12 + 22 + 32 + 42) – 4( 1 + 2+ 3 + 4)= (1 + 4 + 9 + 16) – 4(10)= 30 – 40= –10
141Barisan dan DeretContoh 2:Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa21)4 (2-=<nkk= 4 1 16211kkn.knkn==--<+6Jawab:21)4 (2-=<nkk=)16 16 (412+<-=kknk=---===+<nknknkkk1112161 16 4=nkknknk16 61 4112+<--== ................... (terbukti)Contoh 3:Ubahlah batas bawah sigma menjadi 1 dari notasi sigmaberikut.a.-=+531) (kkb.()320<=-kk4Jawab:a.---=<<==+=++=+312523533) ( 1 2) ( )1 (kkkkkkb.()((3232001<=<<==++--kkkk4411))= (()325211<+=<==--kkkk2)55Contoh 4:Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigmaberikut.a.-<=<421 2kkkb.-=+10621) (kk
142Khaz Matematika SMA 3 BhsJawab:a.-<=<421 2kkk=-++<=<<<64621 6) 2(6 k kk=-=<<10413 26 k kkb.-=+10621) (kk=-<<=++2102621 2) (kk=-=++8425)4 (k kk4. Menyatakan Suatu Deret dalam Notasi SigmaNotasi sigma dapat mempermudah kita dalam menuliskanjumlah bilangan-bilangan yang terpola, misalnya 2 + 4 + 6 + 8 +.... Seperti kalian ketahui, deret aritmetika dan deret geometrimerupakan deret dengan suku-sukunya terpola tetap. Deret-deretseperti ini dapat kita sajikan dalam notasi sigma. Agar lebihpaham, perhatikan contoh berikut.Contoh:Suatu deret dinyatakan dengan notasi sigma berikut.a.-=+1011) 2(nnb.-=612nnDeret apakah itu? Kemudian, tentukan nilainya.Jawab:a.-=+1011) 2(nn= (2(1) + 1) + (2(2) + 1) + (2(3) + 1) + ... + (2(10) + 1)= (2 + 1) + (4 + 1) + (6 + 1) + ... + (20 + 1)= 3 + 5 + 7 + ... + 21Tampak bahwa deret itu memiliki suku-suku yangselisihnya tetap, yaitu 2. Jadi, deret itu adalah deretaritmetika dengan suku awal a = 3, beda b = 2, dan U10 = 21.Nilai -=+1011) 2(nn sama dengan nilai jumlah n sukupertama, S10. Dengan menggunakan jumlah 10 sukupertama yang kalian ketahui, diperoleh
143Barisan dan DeretSn=21n(a + Un)=21(10)(3 + 21)= 120Jadi, -=+1011) 2(nn = 120.b.-=612nn=21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64Tampak bahwa deret itu memiliki rasio tetap, yaitu r = 2.Jadi, deret ini termasuk deret geometri dengan suku awala = 2 dan rasio r = 2. Oleh karena itu -=612nn = S6. Karenar = 2 > 1, kita gunakan rumus berikut.Sn = 1 1) (<<rranS6= 1 21) 2(26<<= 11) 64(2<= 126Jadi, -=612nn = 126.Soal Kompetensi 8• Kerjakan di buku tugas1.Tulislah notasi sigma berikut dalam bentuk lengkap ataupenjumlahan biasa.a.-=513jjd.-=+7321k kkb.-=<6052kke.-=<+<5111)1( kkkkyxc.)1 (331-=+kkf.-=<<4121)( nnnn2.Nyatakan penjumlahan berikut dalam bentuk sigma.a.3 + 4 + 5 + ... + 100b.3 + 6 + 9 + ... + 24c.1 × 3 + 3 × 5 + 5 × 7 + 7 × 9 + 9 × 11 + 11 × 13d.xy2 + x2y3 + x3y4 + x4y5 + x5y6 + x6y7
144Khaz Matematika SMA 3 Bhs3.Hitunglah hasil penjumlahan berikut (jika perlu gunakansifat notasi sigma).a.-=1048kb.-=<511) 2(kkc.-=612iid.2622)1 ()21 (kk-=e.1) 2 (3) 2 (61++-=iiif.-=+++511) ( 3) 2)(2 (3 nnnn4.Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, buktikanpernyataan berikut.a.nkkknknknk 4 4 1) (2 11221+<=<---===b.375 03 3 3 515121062++=---===kkkkkkc.4)20( 8 4) ( 4141252<++=+---<=<==nkkknknknk5.Jika diketahui -==10125 iix dan yii 50==-110, hitunglah nilai-nilai sigma berikut.a.-=+1014) (iixb.-=<1011) (3iiyc.-=+<1015) 4 (2iiiyxd.-=<101)4 (7iiixyTantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasTentukan nilai notasi sigmaberikut. Adakah yang ter-masuk deret konvergen?a.()32215nk<=-b.()242216iii+<=-c.323410×<=-nnd.nni<=-6510
145Barisan dan Deret6.Ubahlah notasi sigma berikut ke dalam batas bawah b yangditentukan.a.-=<+1061 2 3 nnn; b = 2b.kk2 5+()=-510; b = 1c.b = 3d.ppp4 310+<£¤²¥¦ ́=-0; b = 5e.-=+<8125)2 (i ii; b = 27.Tentukan nilai notasi sigma berikut.a.||kk<=-515b.||34224kk<=-c.||kkn215410<<=-8.Diketahui Unn=-18 = p, tentukan nilai notasi sigma berikut.a.()2418Unn+=-b.()3218Unn<=-F. Deret dalam Hitung Keuangan (Pengayaan)Pernahkah kalian mengamati kegiatan ekonomi yang terjadidi sekitarmu? Kegiatan ekonomi pada umumnya melibatkanterjadinya rotasi uang. Misalnya, terjadinya transaksi jual beli,hutang-piutang, pinjam-meminjam, dan lain-lain. Pada transaksi-transaksi tersebut, biasanya dihubungkan dengan bunga.Berkaitan dengan hal itu, pada pembahasan kali ini, kita akanmembicarakan bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas.Untuk mempermudah proses perhitungan bunga tunggal,bunga majemuk, dan anuitas, kalian dapat menggunakan bantuankalkulator.
146Khaz Matematika SMA 3 Bhs1. Bunga TunggalPada suatu kegiatan (usaha) yang berhubungan dengan uang,misalnya pinjam-meminjam, biasanya jumlah nominal uang yangdibayarkan oleh seorang peminjam akan lebihbesar daripada jumlah nominal uang yangdipinjamnya. Selisih jumlah nominal uangyang dipinjam dan jumlah yang dikembalikanitu dinamakan bunga. Bunga pinjamanmerupakan beban ganti rugi bagi peminjam.Hal ini disebabkan peminjam menggunakanuang pinjaman tersebut untuk usaha.Besarnya bunga dipengaruhi oleh besaruang yang dipinjam, jangka waktu pemin-jaman, dan tingkat suku bunga (persentase).Bunga yang dibayarkan oleh peminjam padaGambar 3.4 Aktivitas perbankanSumber:Dukumen Penerbitakhir jangka waktu peminjaman tertentu dengan besar pinjamandijadikan dasar perhitungan dan bunga pada periode berikutnya.Jika besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkantetap untuk setiap periode, bunga itu dinamakan bunga tunggal.Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasarbunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%.Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama:Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000,00 (1 + 10%)Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua:Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00= Rp100.000,00 (1 + 2 × 10%)Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga:Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00+ 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000, 00 (1 + 3 × 10%)Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-t:Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + ... +10% × Rp100.000,00 = Rp100.000,00 ( 1+ t × 10%)Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.Misalkan modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bunga tunggalselama t periode waktu dengan tingkat suku bunga (persentase) r.Bunga (B) dan besar modal pada akhir periode (Mt) adalahB = M0× t × rMt = M0(1 + t × r)
147Barisan dan DeretContoh 1:Koperasi Lestari memberikan pinjaman kepada anggotanyaatas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seoranganggota meminjam modal sebesar Rp3.000.000,00 denganjangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukana.besar bunga setiap bulannya;b.besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktuyang ditentukan.Jawab:Besar bunga dihitung setiap bulan.Diketahui r = 2%, M0 = Rp3.000.000,00, dan t = 12 bulan.a.Besar bunga setiap bulan adalahB=M0× 1 ×r= Rp3.000.000,00 × 1 × 2%= Rp60.000,00b.Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 12bulan adalahMt=M0(1 + t × r)M12= Rp3.000.000,00(1 + 12 × 2%)= Rp3.000.000,00(1,24)= Rp3.720.000,00Contoh 2:Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00dengan suku bunga tunggal 10% per tahun. Dalam waktu 90hari, Cecep sudah harus mengembalikan uang tersebut. Berapabunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya?(Asumsikan: 1 tahun = 360 hari)Jawab:Dari soal di atas diketahui M0 = Rp2.000.000,00, r = 10% pertahun, dan t = 60 hari = 14 tahun.a.Bunga B=M0× t × r= Rp2.000.000,00 ×14× 10%= Rp50.000,00b.Jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep adalahMt=M0(1 + t × r)=M0 + M0× t × r=M0 + B= Rp2.000.000,00 + Rp50.000,00= Rp2.050.000,00
148Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh 3:Budi meminjam uang di bank sebesar Rp3.000.000,00 denganmenggunakan aturan sistem bunga tunggal dan tingkat bungar per tahun. Dalam waktu satu tahun, Budi harusmengembalikan ke bank sebesar Rp3.240.000,00. Tentukantingkat bunga r.Jawab:Dari soal di atas diketahuiM0 = Rp3.000.000,00Mt = Rp3.240.000,00Nilai bunga dalam satu tahun adalahB= M1 – M0= Rp3.240.000,00 – Rp3.000.000,00= Rp240.000,00sehingga tingkat bunga per tahun adalahr= BM0= RpRp240 000 003 000 000 00.,.., = 243008100= = 8%Jadi, besarnya tingkat bunga per tahun adalah 8%.ProblemSolvingSuatu modal dipinjamkan dengan menggunakan aturan sistembunga tunggal 4% per bulan. Dalam waktu berapa bulan modalitu harus dipinjamkan agar jumlah uang yang dikembalikanmenjadi empat kali modal semula?Jawab:Misalkan modal yang dipinjamkan adalah M0.Jumlah uang yang dikembalikan Mt = 4M0.Dengan tingkat bunga 4% per bulan dan menggunakanhubunganMt = M0(1 + t×r)4Mt = M0(1 + t× 4%)400MM = 1 + t× 4%4 = 1 + t×4100t×4100 = 3t = 75Jadi, modal yang dipinjamkan itu akan mencapai empat kalimodal semula untuk masa waktu 75 bulan.
149Barisan dan DeretMariBerdiskusiInkuiriBuatlah sebuah soal yang berhubungan dengan bunga tunggal.Kemudian, buatlah susunan besar uang yang harus dibayarkanuntuk tiap periode. Perhatikan pola bilangan yang ditunjukkanpada susunan itu. Buktikan bahwa susunan (pola) barisan itusesuai dengan barisan aritmetika.Soal Kompetensi 9• Kerjakan di buku tugas1.Modal sebesar Rp4.000.000,00 dipinjamkan denganperjanjian sistem bunga tunggal. Hitunglah besarnyabunga jika diketahuia.tingkat bunga 5% per tahun untuk jangka waktu 1tahun;b.tingkat bunga 8% per tahun untuk jangka waktu 3tahun;c.tingkat bunga 10% per tahun untuk jangka waktu 7bulan;d.tingkat bunga 15% per tahun untuk jangka waktu 5bulan;e.tingkat bunga 17% per tahun untuk jangka waktu 9bulan;f.tingkat bunga 2,5% per bulan untuk jangka waktu 3bulan;g.tingkat bunga 1,25% per bulan untuk jangka waktu 1tahun.2.Modal sebesar Rp12.500.000,00 dipinjamkan untukjangka waktu 2 tahun dengan perjanjian sistem bungatunggal dan tingkat bunga 1% per bulan. Tentukan jumlahuang yang akan diterima setelah pengembalian padajangka waktu yang sudah ditentukan.3.Hitunglah tingkat bunga tunggal per tahun (dalam %)untuk setiap soal berikut.a.Modal Rp500.000,00 menjadi Rp535.000,00 dalamjangka waktu 2 tahun.b.Modal Rp1.000.000,00 menjadi Rp1.180.000,00dalam jangka waktu 3 tahun.c.Modal Rp2.000.000,00 menjadi Rp3.100.000,00dalam jangka waktu 5 tahun.d.Modal Rp10.500.000,00 menjadi Rp11.235.000,00dalam jangka waktu 7 bulan.e.Modal Rp25.000.000,00 menjadi Rp30.625.000,00dalam jangka waktu 15 bulan.TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasKetika Bu Endar melahirkananak pertamanya, Pak Endarsegera mempersiapkan biayauntuk masa depan anaknyaitu. Pak Endar menabung diBank Wangsa. Bank itumemberikan bunga 14% pertahun atas dasar bungamajemuk. Jika uang yangdisimpan Pak Endar sebesarRp1.000.000,00, berapalama uang itu harus disim-pan agar nilai akhir menjadi2 kali nilai tunainya?
150Khaz Matematika SMA 3 Bhs4. Tuan Simangunsong meminjam uang sebesarRp1.000.000,00 pada koperasi Jaya Bersama. Koperasimenetapkan suku bunga tunggal 3,5% per bulan. Berapajumlah uang yang harus dia kembalikan jika jangka waktupengembaliannya 1 tahun?5.Bu Dina meminjam uang di Bank Jatra Lancar sebesarRp15.000.000,00. Dalam 1 bulan uang tersebut harusdikembalikan dengan jumlah Rp15.750.000,00. Tentukana.tingkat (suku) bunga tunggal;b.jumlah uang yang harus dikembalikan Bu Dina jika akanmeminjam selama 1 tahun;c.jumlah uang yang harus dikembalikan Bu Dina jika akanmeminjam 1,5 tahun(Asumsi: 1 bulan = 30 hari).6. Rani menabung uang di Bank Makmur sebesarRp3.500.000,00. Pihak bank menetapkan sistem bungatunggal dengan tingkat bunga 6% per tahun. Hitunglahjumlah uang Rani (modal serta bunganya) untuk masa waktu5 tahun.7.Alan membeli mobil dengan harga Rp150.000.000,00.Jumlah uang muka disepakati sebesar Rp90.000.000,00 dansisanya dibayar dalam jangka waktu 8 bulan sejumlahRp67.200.000,00. Jika perhitungan sisa pinjaman ini denganmenggunakan sistem bunga tunggal, tentukan besarnyatingkat bunga per bulan.8.Seorang pedagang menyimpan uang di bank sebesarRp10.000.000,00 dengan sistem bunga tunggal 0,4% perbulan. Dalam jangka waktu berapa bulan uang pedagangitu akan menjadi Rp10.440.000,00?9.Modal pinjaman sebesar Rp12.000.000,00 harus dilunasidalam waktu 10 bulan dengan menggunakan aturan sistemsuku bunga tunggal. Hutang yang dikembalikan nilainya 54kali modal semula. Hitunglah besar tingkat bunga per tahun.10. Modal bunga sebesar M0 dipinjamkan dengan tingkat bungatunggal 8% per bulan. Dalam masa waktu berapa tahunmodal itu harus dipinjamkan agar uang yang dikembalikanmenjadi satu setengah kali modal semula?2. Bunga MajemukKalian telah mengetahui perhitungan bunga yang didasarkanatas bunga tunggal. Sekarang kalian diajak untuk memahamibunga majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar jumlahmodal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang
151Barisan dan Derettelah terjadi. Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yangdapat berbunga. Adapun perhitungannya dapat kalian pahamimelalui perhitungan deret geometri.Misalkan modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bungamajemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) perperiode waktu. Besar modal pada periode ke-t (Mt) dapat dihitungdengan cara berikut.M1 = M0 + M0× i = M0(1 + i)M2 = M1(1 + i) = [M0(1 + i)] (1 + i) = M0(1 + i)2M3 = M2(1 + i) = [M0(1 + i)2](1 + i) = M0(1 + i)3MMMMMt = Mt–1(1 + i) = [M0(1 + i)t+1](1 + i) = M0(1 + i)tJadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.Jika modal M0 dibungakan atas dasar bunga majemuk dengantingkat suku bunga i (dalam persen) per periode tertentu, besarmodal pada periode ke-t (Mt) dapat ditentukan dengan rumusMt = M0(1 + i)tTantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasMisalkan diberikan hargasuatu penanaman modalsebesar Rp25.000.000,00.Dalam perhitungan, untuktahun pertama nilai pena-naman modal akan berku-rang 15%, tahun kedua turun13,5%, tahun ketiga turun12%, demikian seterusnya.Coba tentukan nilai sisa pe-nanaman modal pada akhirtahun ke-8 jika persentasedihitung terhadap nilai awal.Contoh 1:Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasarbunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjammodal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank membungakanmajemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikansetelah 1 tahun?Jawab:Diketahui M0 = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12bulan.Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 1tahun (12 bulan) adalahMt= M0(1 + i)tM12= Rp5.000.000,00(1 + 0,03)12= Rp5.000.000,00(1,42576)= Rp7.128.800,00Pada bunga majemuk, banyak periode bunga tidak harus tepat1 bulan atau pun 1 tahun. Namun, periodenya juga dapat dalamkurun waktu tertentu, misalnya 2 bulan, 3 bulan, atau 4 bulan.Perhatikan contoh berikut.
152Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh 2:Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00.Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk20% per tahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan.Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun,tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada akhirtahun ke-3.Jawab:Diketahui M0 = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2.Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan).Jadi, banyak periode pembungaannya dalam setahun ada 412= 3 kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periodepembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlahmodal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir tahunke-3 adalahMt= M0(1 + i)tM9= Rp2.000.000,00(1 + 0,2)9= Rp2.000.000,00(5,159780)= Rp10.319.560,00Tugas: Inovatif• Kerjakan di buku tugasBerdasarkan rumus menen-tukan besar modal padaperiode ke-t (Mt), yaituMt = M0 (1 + i)t, coba turun-kan rumus untuk menentu-kan besarnya nilai bungamajemuk setelah t periode.ProblemSolvingSuatu modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan denganaturan sistem bunga majemuk. Setelah 10 tahun, modal itumenjadi Rp7.500.000,00. Tentukan tingkat bunga per tahundalam bentuk persen.Jawab:Dari soal di atas diketahui M0 = Rp5.000.000,00,M10 = Rp7.500.000,00, dan t = 10 tahun.Mt = M0(1 + i)tM10 = M0(1 + i)107.500.000 = 5.000.000(1 + i)10(1 + i)10 = 7 500 0005 000 000....(1 + i)10 = 1,51 + i = (, )151101 + i = 1,041i = 1,041 – 1i = 0,041 = 4,1%Jadi, besarnya nilai tingkat bunga per tahun adalah 4,1%.TantanganKreativitas• Kerjakan di buku tugasSetiap tahun, jumlah pen-duduk suatu kota bertambahmenjadi tiga kali lipat darijumlah penduduk tahunsebelumnya. Menurut taksir-an, jumlah penduduk padatahun 2009 penduduk kotatersebut akan mencapai 3,2juta jiwa. Berdasarkan infor-masi ini, tentukan jumlahpenduduk pada tahun 1959.
153Barisan dan DeretSoal Kompetensi 10• Kerjakan di buku tugas1.Tentukan nilai modal untuk setiap soal berikut.a.Modal awal Rp2.000.000,00; tingkat bunga majemuk4% per tahun untuk masa 3 tahun.b.Modal awal Rp2.500.000,00, tingkat bunga majemuk5% per tahun untuk masa 4 tahun.c.Modal awal Rp4.000.000,00, tingkat bunga majemuk6% per tahun untuk masa 4 tahun.d. Modal awal Rp10.000.000,00, tingkat bungamajemuk 7% per tahun untuk masa 3 tahun.2.Uang sebesar Rp1.000.000,00 didepositokan atas dasarsistem bunga majemuk. Hitunglah besarnya nilai uangpada permulaan tahun keempat jika diketahui tingkatbungaa.2% per tahun;b.3% per tahun;c.15% per tahun;d.20% per tahun;e.30% per tahun.3.Widi mendepositokan uang Rp4.000.000,00 di BankCahaya dengan tingkat bunga 8% per tahun. Tentukannilai akhir deposito Widi untuk masaa.4 tahun;b.5 tahun;c.6 tahun;d.8 tahun;e.10 tahun.4. Tuan Iwan menyimpan uang di suatu bank yangmemberikan bunga majemuk dengan tingkat suku bunga4,75% per tahun. Berapa jumlah uang Tuan Iwan padaakhir tahun ke-5?5.Wayan meminjam uang Rp2.000.000,00 kepada seorangpeminjam dengan perjanjian bunga majemuk. Jika sukubunga yang diberikan Wayan 5,2% per tahun, tentukanuang yang harus dikembalikan peminjam selama jangkapeminjaman 8 tahun?6. Raja meminjam uang di Bank Makmur sebesarRp3.000.000,00. Bank tersebut memberikan bungamajemuk 3,5% per tahun dengan periode pembungaansetiap semester. Jika Raja meminjam uang dalam jangkawaktu 2 tahun, tentukan jumlah uang yang harusdikembalikan pada akhir tahun ke-2.Modal sebesarRp5.000.000,00 dipinjam-kan dengan sistem bungamajemuk dan tingkat bunga75% per tahun. Pengga-bungan bunga denganmodal dilakukan setiapempat bulan. Modal itudipinjamkan untuk masa 3tahun.a. Tentukan banyak perio-de bunganya.b. Tentukan nilai modaluntuk masa 3 tahun.c. Tentukan nilai bungamajemuk untuk masa 3tahun.TantanganKreativitas• Kerjakan di buku tugas
154Khaz Matematika SMA 3 Bhs7.Modal sebesar Rp10.000.000,00 didepositokan dengantingkat bunga majemuk 5% per tahun. Dalam waktu berapatahun nilai akhir deposito itu akan menjadi Rp11.576.250,00?8.Alan meminjam uang di Bank X sebesar M0 rupiah dengantingkat bunga majemuk 5% per bulan untuk masa 3 bulan.Rani meminjam uang (dalam jumlah sama dengan yangdipinjam Alan) di Bank Y dengan tingkat bunga majemuk i(dalam persen) per bulan untuk masa 2 bulan. Jika jumlahuang yang dikembalikan Alan ke Bank X sama denganjumlah uang yang dikembalikan oleh Rani ke Bank Y, tentukannilai i.Yaman mendepositokanuang Rp300.000,00 di suatubank dengan tingkat bungamajemuk 10% per tahun.Dalam waktu berapa tahunnilai deposito Yaman akanmenjadi 3 kali lipat?TantanganKreativitas• Kerjakan di buku tugas3. AnuitasPernahkah kalian memperhatikan cara pembayaran kreditsepeda motor dengan sistem bunga menurun? Biasanya seseorangyang mengkredit sepeda motor melakukan pembayaran dengancara angsuran, yaitu sistem pembayaran atau penerimaan denganjangka waktu tetap secara berulang-ulang sesuai kesepakatan.Angsuran ini merupakan bagian dari anuitas. Anuitas adalahsistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan denganjumlah dan jangka waktu yang tetap (tertentu).Untuk dapat menentukan rumus perhitungan anuitas,perhatikan uraian berikut.Misalkan modal sebesar M dipinjamkan secara tunai (cash),dengan suku bunga i (dalam persen) per periode waktu dan harusdilunasi dalam t anuitas setiap periode waktu. Ingat, besarnyaanuitas selalu tetap. Bagaimana cara menentukan besar anuitas?Misalkan M adalah modal yang dipinjamkan secara tunaidengan suku bunga i (dalam persen) dan anuitasnya A. Kita dapatmembuat gambaran perhitungan anuitas A sebagai berikut.Bulan ke0123...tPinjamanAit(1 )+Ai(1 )+MAi(1 )+2Ai(1 )3+
155Barisan dan DeretJika pengembalian pinjaman dilakukan:satu kali anuitas maka ) 1(iA+ = M;dua kali anuitas maka AiAi((11 ) )2+++ = M;tiga kali anuitas maka AiAiAi(( (11 1 ) ) )23+++++ = M;demikian seterusnya.Jadi, jika pembayaran dilakukan sebanyak t kali anuitas, berlakuAiAiAit(((111 ) ) ... )2++++++ = M A(1 + i)–1 + A(1 + i)–2 + ... + A(1 + i)–t = M A((1 + i)–1 + (1 + i)–2 + ... + A(1 + i)–t) = MHal ini dapat dituliskan dengan rumus berikut.MiAtnn ) 1(1=+-=< atau A = -=<+tnniM1) 1(Keterangan:A= besar anuitasi = tingkat suku bungaM= modal (pokok)t = banyak anuitasRumus anuitas juga dapat ditulis dalam bentukAiMiinn=++<()()111Contoh 1:Dealer ”Lestari Motor” melayani penjualan sepeda motordengan sistem pembayaran anuitas. Pak Dani membeli sebuahsepeda motor seharga Rp12.000.000,00 di dealer tersebut. Jikabunga yang ditetapkan pihak dealer 3% per tahun dan pelunasandilakukan dengan 6 kali anuitas, tentukan besarnya anuitas.Kemudian, buatlah tabel rencana angsurannya.Jawab:Dari soal diketahuiM= Rp12.000.000,00;i= 3% = 0,03;t= 6Dengan menggunakan rumus anuitas dan melihat tabel,diperoleh sebagai berikut.
156Khaz Matematika SMA 3 BhsA = -=<+tnniM1) 1( = -=<+610,03) 1(00,000.000.12RpnnKarena 111( 0, 03)6+<=-nn= 0,18459750 maka-=<+610,03) 1(nn= 5,4177144 (lihat tabel anuitas). Oleh karenaitu, A = 4179144,500,000.000.12Rp = Rp2.215.170,01Jadi, besar anuitas adalah Rp2.215.170,01.TantanganKreativitas• Kerjakan di buku tugasPak Sianipar meminjamuang di suatu bank sebesarRp5.000.000,00 dan akandilunasi dengan 6 anuitas.Suku bunga yang diberikanoleh pihak bank sebesar 5%per tahun.a. Tentukan besar anuitas.b. Buatlah tabel rencanaangsuran.Setelah mengetahui cara menentukan besar anuitas yangharus dibayarkan, tentu kalian juga harus mengetahui besarangsuran yang telah dibayarkan sehingga kalian mengetahui sisapinjaman setelah pembayaran anuitas pada periode ke-t. Untukitu, perhatikan uraian di atas.Kalian tahu bahwa besar anuitas selalu tetap. Pada contohdi atas, sisa hutang Pak Dani setelah anuitas pertama dibayarkanadalah sebagai berikut.Pinjaman pertama + bunga – anuitas yang dibayarkanJadi, sisa hutang= Rp12.000.000,00(1 + 0,03) – Rp2.215.170,01= Rp10.144.829,99Dengan demikian, angsuran yang dibayarkan sebenarnyahanya selisih anuitas dengan bunganya.Jadi, angsuran pada pembayaran anuitas pertama adalahRp2.215.170,01 – 3% × Rp12.000.000 = Rp1.855.170,01.Perhitungan ini biasanya dilakukan pada akhir periode bunga.Misalkan:M= hutang awalA= besar anuitasi= tingkat suku bungaat= angsuran ke-tPada akhir periode bunga ke-1, besar angsurannyaa1 = A – i M.Pada akhir periode bunga ke-2, besar angsurannyaa2 = (A – i M)(1 + i)2–1.Pada akhir periode bunga ke-3, besar angsurannyaa3 = (A – i M)(1 + i)3–1.
157Barisan dan DeretJadi, pada akhir periode bunga ke-t, besar angsurannyaat = (A – i M)(1 + i)t–1Dari contoh di atas, kita dapat menentukan besar angsuran ke-3Pak Dani pada dealer ”Lestari Motor” sebesara3= (A – i M)(1 + i)3–1= (Rp2.215.170,01 – 0,03 × Rp12.000.000,00)(1 + 0,03)2= Rp1.968.149,86Jadi, besar angsuran ke-3 Pak Dani adalah Rp1.968.149,86.MisalkanM= hutang awalHt= sisa pinjaman akhir periode ke-tA= besar anuitasi= tingkat suku bungaat= angsuran ke-tTabel rencana angsurannya adalah sebagai berikut.AkhirSisa PinjamanAnuitasBeban BungaBesar AngsuranPeriodedi Akhir Periodeke-1H1 = MAiH1a1 = A – i H1ke-2H2 = H1 – a1AiH2a2 = A – i H2ke-3H3 = H2 – a2AiH3a3 = A – i H3MMMMMke-tHt = Ht–1 – at–1AiHtat = A – i HtTabel Rencana AngsuranDari contoh di atas, kita dapat membuat tabel rencana angsuran sebagai berikut.AnuitasRp2.215.170,01Rp2.215.170,01Rp2.215.170,01Rp2.215.170,01Rp2.215.170,01Rp2.215.170,01AkhirPeriodeke-1ke-2ke-3ke-4ke-5ke-6ke-7Sisa PinjamanH1= Rp12.000.000;H2=H1 – a1= Rp10.144.829,99H3=H2 – a2= Rp8.234.004,89H4=H3 – a3= Rp6.265.855,03H5=H4 – a4= Rp4.238.660,68H6=H5 – a5= Rp2.150.650,49H7=H6 – a6=0Beban Bungadi Akhir PeriodeiH1 = Rp360.000,00iH2 = Rp304.344,89iH3 = Rp247.020,15iH4 = Rp187.975,65iH5 = Rp127.159,82iH6 = Rp64.519,52iH7 = 0Besar Angsurana1=A – i H1= Rp1.855.170,01a2=A – i H2= Rp1.910.825,1a3=A – i H3= Rp1.968.149,86a4=A – i H4= Rp2.027.194,35a5=A – i H5= Rp2.088.010,19a6=A – i H6= Rp2.150.650,49
158Khaz Matematika SMA 3 BhsSetelah kalian memahami rumus untuk menentukan besarnyaangsuran, sekarang kita akan menentukan rumus untuk mencaribesar pinjaman. Dari rumus menentukan besarnya angsuran padaperiode bunga ke-t, untuk melunasi pinjaman sebesar M denganbesar anuitas A setiap periode pembayaran pada tingkat bunga i(dalam persen) per periode pembayaran ditentukan olehat = (A – iM)(1 + i)t–1Untuk nilai-nilai t = 1, 2, 3, .... n, diperoleh hubungan berikut.a1 = (A – iM)(1 + i)1–1 = (A – iM)a2 = (A – iM)(1 + i)2–1 = (A – iM)(1 + i) = a1(1 + i)a3 = (A – iM)(1 + i)3–1 = (A – iM)(1 + i)2 = a1(1 + i)2Mat = (A – iM)(1 + i)t–1 = a1(1 + i)t–1Besarnya pinjaman M sama dengan jumlah angsuran ke-1,angsuran ke-2, dan seterusnya sampai dengan angsuran ke-t.M = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + atM = a1 + a1(1 + i) + a1(1 + i)2 + a1(1 + i)3 + ... + a1(1 + i)t–1Terlihat bahwa M merupakan jumlah n suku pertama deretgeometri dengan suku pertama a1 dan rasio (1 + i). Denganmenggunakan rumus deret geometri Sn = arrn()<<11 makadiperoleh Maiit=+<+<11111{()}()=+<aiit111{()}.Jadi, diperoleh rumus untuk menentukan besar pinjaman atauhutang dengan sistem anuitas adalahM=+<aiit111{()}denganM= besar pinjaman/hutang awala1= angsuran pertamai= tingkat suku bungat= periode pembayaranContoh 2:Hutang sebesar M rupiah akan dilunasi dengan sistempembayaran anuitas. Besarnya angsuran untuk tahun pertamaadalah Rp400.000,00 dan tingkat bunga 10% per tahun. Jikahutang itu lunas dalam tempo 4 tahun, hitunglah besarnya nilaihutang (M) tersebut.
159Barisan dan DeretJawab:Berdasarkan soal di atas, diketahui a1 = Rp400.000,00, tingkatbunga per tahun i = 10% = 0,1, dan jangka pembayaran t = 4tahun.Substitusikan nilai-nilai a1, i, dan t ke dalam rumus berikut.M=+<aiit111{()}= 400 000 1 0 11014.{( ,) },+<= 400 000 1 11014.{(,) },<= 1.856.400Jadi, nilai pinjaman atau hutang awal tersebut adalahRp1.856.400,00.Soal Kompetensi 11• Kerjakan di buku tugas1.Suatu modal sebesar Rp10.000.000,00 dipinjamkandengan sistem anuitas. Tentukan besarnya anuitas jikaa.bunga 3% per tahun dan pelunasan dilakukan 6 kalianuitas;b.bunga 4% per tahun dan pelunasan dilakukan 5 kalianuitas;c.bunga 7% per tahun dan pelunasan dilakukan 4 kalianuitas.d.bunga 10% per tahun dan pelunasan dilakukan 8 kalianuitas.e.bunga 15% per tahun dan pelunasan dilakukan 10kali anuitas.2.Suatu pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 akan dilunasidengan sistem anuitas tahunan sebesar Rp864.099,10 padatingkat bunga 5% per tahun. Tentukana.besar angsuran kedua;b.besar angsuran keempat;c.besar angsuran kelima;d.besar angsuran keenam.3.Suatu pinjaman sebesar M rupiah akan dilunasi dengansistem anuitas. Besar angsuran pertamanya Rp200.000,00.Jika tingkat bunga yang berlaku 8% per tahun dalamjangka pembayaran 10 tahun, tentukan besarnya nilaipinjaman M.
160Khaz Matematika SMA 3 Bhs4.Suatu modal sebesar Rp6.000.000,00 dipinjamkan dengansuku bunga 3% per bulan. Modal itu harus dilunasi dalam8 anuitas. Anuitas pertama dilakukan sebulan setelah uangditerima peminjam. Tentukan besarnya anuitas danangsuran setelah periode bunga ke-2.5.Sebuah dealer sepeda motor mengkreditkan sebuah motorseharga Rp15.000.000,00 kepada Tuan Deni. Sepeda iniharus dilunasi dalam 20 anuitas bulanan. Jika suku bungayang diberikan pihak dealer 2,5%, tentukana.besar anuitas;b.angsuran pada akhir periode bunga ke-3;c.sisa hutang pada akhir periode bunga ke-3;d.buatlah tabel rencana angsuran sampai angsuran ke-6.6.Tentukan besarnya anuitas tahunan dari pinjamanRp3.000.000,00 pada tingkat suku bunga 4% per tahundalam jangka pembayaran 5 tahun.7.Suatu pinjaman besarnya Rp8.000.000,00 akan dilunasidengan sistem anuitas tahunan pada tingkat bunga 6%per tahun dalam tempo pembayaran 4 tahun.a.Tentukan besarnya nilai anuitas.b.Buatlah tabel rencana angsurannya.8.Pinjaman sebesar X rupiahakan dilunasi dengan sistempembayaran anuitas. Besarnya angsuran untuk bulanpertama adalah Rp100.000,00 dan tingkat bunga 1,5%per bulan. Jika pinjaman itu lunas dalam tempopembayaran 1 tahun, tentukan besarnya nilai pinjamanitu.9.Sebuah toko elektronik mengkreditkan sebuah televisiseharga Rp1.500.000,00 kepada seorang pelanggannya.Televisi tersebut harus dilunasi dalam 15 anuitas bulanan.Jika suku bunga yang diberikan pihak toko 1,5%, tentukana.besar anuitas;b.sisa hutang pada akhir periode bunga ke-4;c.buatlah tabel rencana angsurannya.10. Sebuah bank memberikan pinjaman yang harus dilunasidengan sistem anuitas. Besar angsuran pertamaRp200.000,00. Jika bank tersebut memberikan tingkatbunga 6% per tahun dalam jangka pembayaran 12 tahun,tentukan besar pinjaman yang diberikan.Tugas: Inkuiri• Kerjakan di buku tugasUntuk menambah wawasankalian tentang materi barisandan deret coba kalian carihal-hal yang berkaitan de-ngan barisan dan deret,sigma, serta induksi mate-matika (materi maupuntokoh-tokoh) di media yangada di sekitarmu (internet,perpustakaan, maupun buku-buku referensi).
161Barisan dan Deret1.Barisan aritmetika adalah suatu barisanbilangan yang setiap sukunya diperolehdari suku sebelumnya ditambah suatubilangan tetap (konstan) yang disebutbeda (b).Rumus umum suku ke-n dari barisanaritmetika adalahUn = a + (n – 1)b,dengan b = Un – Un–1Rumus umum jumlah n suku pertamaderet aritmetika adalahSn= 21n(a + Un) atauSn = n(2a + (n – 1)b)2.Barisan geometri adalah suatu barisanbilangan yang setiap sukunya diperolehdari suku sebelumnya dikalikan dengansuatu bilangan tetap (konstan) yangdinamakan rasio (r).Rumus umum suku ke-n dari barisangeometri adalahUn = arn–1, dengan r = 1<nnUURumus umum jumlah n suku pertamaderet geometri adalahSn = 1 1) (<<rran, untuk r > 1Sn = 1) 1(rran<<, untuk r < 13.Syarat deret geometri tak berhinggadisebut konvergen adalah | r | < 1. Rumusjumlah tak berhingga deret geometri iniadalahS' = 1ra<.RefleksiSetelah mempelajari barisan dan deret,dapatkah kalian:a.menjelaskan deret yang mempunyaijumlah;b. memberikan contoh aplikasinya.Manfaat apa yang dapat kalian perolehsetelah mempelajari bab ini? Cobalahuntuk membuat suatu ringkasan tentangmateri ini dengan menggunakan bahasakalian sendiri.Rangkuman
162Khaz Matematika SMA 3 Bhs1. Diketahui penjumlahan bilangan-bilangan6417 ... 1699745 3+++++. Penjumlahantersebut jika ditulis dalam notasi sigmaadalah ....a.-=<8121 2nnnb.-=+8022 2nnnc.-=<+8121 1 nnnd.-=+8121 2nnne.-=+8023 2nnn2.Nilai dari -=+8422) 3(nn adalah ....a.508d.850b.480e.408c.5803.Suatu barisan aritmetika mempunyaisuku ke-n yang dirumuskan sebagaiUn = 4n – 5. Beda dari barisan itu adalah ....a.3b.4c.41d.31e.124.Diketahui suku ke-2 dan suku ke-10barisan aritmetika berturut-turut adalah–7 dan 17, suku ke-20 barisan tersebutadalah ....a.37d.57b.47e.74c.505.Dari sebuah deret aritmetika diketahuiS4 = 44 dan S8 = 152. Suku pertama darideret tersebut adalah ....a.–5d.4b.–4e.5c.36. Lima bilangan merupakan deretaritmetika yang jumlahnya sama dengan175. Bilangan ketiga sama dengan tigakali bilangan pertama. Tiga kali bilangankedua adalah ....a.23d.70b.35e.90c.487.Dari suatu barisan geometri diketahuiU1 + U3 = p dan U2 + U4 = q. Nilai U4adalah ....a.222qpp+b.2233qpqp++c.223qpq+d.222qpq+e.222qqp+Tes Kemampuan Bab III• Kerjakan di buku tugasA. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tandasilang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.
163Barisan dan Deret8.Dari barisan geometri diketahui sukupertamanya adalah a–6 dan suku ke-4adalah ax. Jika suku ke-10 adalah a12,nilai x adalah ....a.ad.a2b.a1e.21ac.19. Suku kedua dan kelima dari deretgeometri berturut-turut adalah 6 dan 48.Jumlah 8 suku pertama adalah ....a.756d.384b.765e.438c.65710. Jika jumlah n suku dari suatu deretgeometri yang rasionya r adalah Sn makaSSnn63 = ... (SPMB 2004)a.r3nd.r2n + 1b.r2ne.r3n – 1c.r3n + 111. Jumlah n suku pertama dari suatu deretaritme-tika adalah Sn = n2(3n – 17).Rumus umum suku ke-n adalah .... (PPI1983)a.3nb.3n – 10c.3n – 8d.3n – 6e.3n –212. Sepotong kawat panjang 124 cmdipotong menjadi 5 bagian sehinggapanjang potong-potongannya memben-tuk barisan geometri. Jika potongankawat yang paling pendek panjangnya4 cm maka potongan kawat yang palingpanjang adalah .... (UMPTN 2001)a.60 cmb.64 cmc.68 cmd.72 cme.76 cm13. Jumlah suatu deret aritmetika adalah 20.Suku pertama deret tersebut adalah 8 danbedanya –2. Jika banyaknya suku deretadalah n maka n adalah .... (SPMB 2004)a.4 atau 5b.4 atau 6c.4 atau 7d.3 atau 6e.5 atau 714. Bu Dina menyimpan uang di bankRp20.000.000,00 dengan suku bungatunggal 12% per tahun selama 6 bulan.Jumlah tabungan Bu Dina selama 6tahun adalah ....a.Rp34.400.000,00b.Rp22.400.000,00c.Rp21.200.000,00d.Rp20.600.000,00e.Rp18.800.000,0015. Pada saat di awal diamati 8 virus jenistertentu, setiap 24 jam masing-masingvirus membelah diri menjadi dua. Jikasetiap 96 jam seperempat dari seluruh virusdibunuh maka banyaknya virus pada harike-6 adalah .... (SPMB 2004)a.96d.224b.128e.256c.19216.x0 adalah rata-rata dari data x1, x2 ..., x10.Jika data tersebut diubah mengikuti polaxx x12 3222426+++,,, dan seterusnyamaka nilai rata-rata menjadi .... (SPMB2006)a.x0 + 11b.x0 + 12c.x0210+d.x0211+e.x0212+
164Khaz Matematika SMA 3 Bhs17. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 20x +(7k – 1) = 0 merupakan suku pertamadan suku kedua suatu deret geometridengan pembanding yang lebih besardari 1. Jika perbandingan kedua akarpersamaan itu 2 : 3 maka suku keempatderet geometri itu adalah .... (UMPTN1994)a.9 untuk k = 7b.1312 untuk k sembarangc.1312 untuk k = 7d.1512 untuk k sembarange.1512 untuk k = 718. Pada awal bulan, Firdaus menabung dibank sebesar Rp500.000,00. Jika bank itumemperhitungkan suku bunga majemuksebesar 2,5% setiap bulan denganbantuan tabel di bawah, jumlah ta-bungan Firdaus setelah satu tahun adalah.... (UN SMK 2006)20. Jumlah lima suku pertama suatu deretgeometri adalah 93 dan rasio deret itu 2.Hasil kali suku ke-3 dan ke-6 adalah ....(UN 2006)a.4.609b.2.304c.1.152d.768e.38121. Nilai n yang memenuhi nnn242 123++[]<()= 5 + 4(0,2)1 + 4(0,2)2 + 4(0,2)3 + ...adalah .... (UMPTN 2001)a.2 dan 3b.2 dan 5c.2 dan 6d.3 dan 5e.3 dan 622. Seseorang mempunyai sejumlah uangyang akan diambil setiap bulan yangbesarnya mengikuti aturan barisanaritmetika. Pada bulan pertama diambilRp1.000.000,00, bulan keduaRp925.000,00, bulan ketigaRp850.000,00, demikian seterusnya.Jumlah seluruh uang yang telahdiambil selama 12 bulan pertamaadalah .... (UN 2006)a.Rp6.750.000,00b.Rp7.050.000,00c.Rp7.175.000,00d.Rp7.225.000,00e.Rp7.300.000,0023. Suku kelima sebuah deret aritmetikaadalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8dengan suku ke-12 sama dengan 52.Jumlah 8 suku pertama deret itu adalah.... (UN 2007/Paket 14)a. 68b. 72c. 76d. 80e. 84 (1 + i)nn2,5%101,2802111,3121121,3449a.Rp575.250,00b.Rp624.350,00c.Rp640.050,00d.Rp656.050,00e.Rp672.450,0019. Pinjaman sebesar Rp1.000.000,00berdasarkan suku bunga majemuk 2%per bulan akan dilunasi dengan 5 kalianuitas bulanan sebesar Rp220.000,00.Besar angsuran pada bulan ke-4 adalah.... (UN SMK 2006)a.Rp200.820,00b.Rp212.260,00c.Rp213.464,00d.Rp216.480,00e.Rp218.128,00
165Barisan dan Deret24. Bakteri jenis A berkembang biak menjadidua kali lipat setiap lima menit. Padawaktu lima belas menit pertamabanyaknya bakteri ada 400. Banyakbakteri pada waktu tiga puluh lima menitpertama adalah .... (UN 2007/Paket 14)a. 640 bakterib. 3.200 bakteric. 6.400 bakterid. 12.800 bakterie. 32.000 bakteri25. Diketahui suatu barisan aritmetika, Unmenyatakan suku ke-n. Jika U7 = 16 danU3 + U9 = 24 maka jumlah 21 sukupertama dari deret aritme-tika tersebutadalah .... (UN 2007/Paket 47)a.336d.1.344b.672e.1.512c.75626. Sebuah bola pingpong dijatuhkan kelantai dari ketinggian 2 meter. Setiap kalisetelah bola itu memantul ia mencapaiketinggian 34 dari ketinggian yangdicapai sebelumnya. Panjang lintasanbola tersebut hingga bola berhenti adalah.... (UN 2007/Paket 47)a.17 meterd.6 meterb.14 metere.4 meterc.8 meter27. Notasi sigma yang menyatakan 7 + 11 +15 + 19 + 23 + ... + 51 adalah .... (UN2004)a.()43111nn+=-d.()34115nn+=-b.()43112nn+=-e.()34116nn+=-c.()43113nn+=-28. Seorang anak berjalan dengan kecepatan6 km/jam pada jam pertama. Pada jamkedua, kecepatan dikurangi setengah-nya, demikian seterusnya sampai ber-henti. Jarak terjauh yang dapat dicapaianak tersebut adalah .... (UN 2004)a. 9 kmb. 12 kmc. 15 kmd. 18 kme. 24 km29. Suatu keluarga mempunyai 4 orang anakyang urutan usianya membentuk barisangeometri. Jika usia anak pertama 27tahun dan anak ketiga 12 tahun makajumlah usia keempat anak tersebutadalah .... (UN 2004)a.57 tahund.69 tahunb.61 tahune.73 tahunc.65 tahun30. Sebuah barisan aritmetika dikelompok-kan menjadi (1), (4, 7, 10), (13, 16, 19,22, 25), ..., dengan banyak bilangandalam kelompok membentuk barisanaritmetika. Bilangan kedua padakelompok kelima puluh adalah ....(SPMB 2007)a.7.204d.7.207b.7.205e.7.208c.7.20631. Jika qp11+ = 1 maka jumlah deret takberhingga ...1...1112+++++npqpqpqpadalah .... (SPMB 2005)a.1b.211c.21d.pqe.qp
166Khaz Matematika SMA 3 Bhs32. Suku pertama dan suku kedua dari suatuderet geometri berturut-turut adalah p2dan px. Jika suku kelima deret tersebutadalah p18 maka x = .... (SPMB 2005)a.1d.6b.2e.8c.433. Suku keempat suatu deret aritmetikaadalah 9, sedangkan jumlah sukukeenam dan suku kedelapan adalah 30.Jumlah 20 suku pertama deret tersebutadalah .... (SPMB 2005)a.200d.640b.440e.800c.60034. Jika suku ke-n suatu deret adalah Un = 22x + 1 makajumlah tak berhingga deret tersebut adalah ....(SPMB 2005)a.22x + 2d.22x + 1b.22x - 1e.22x + 2c.22x35. Suku tengah suatu deret aritmetika adalah 23.Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13maka banyak suku deret tersebut adalah ....(SPMB 2005)a.5b.7c.9d.11e.13B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut denganbenar.1.Tiga buah bilangan (x + 1), (2x – 1), dan(2x + 2) membentuk barisan aritmetika,tentukan bilangan-bilangan itu.2.Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-sikumembentuk barisan aritmetika. Jikaluasnya 24 cm2, hitunglah kelilingnya.3.Dari suatu barisan geometri diketahuiU1 + U6 = 33 dan U3×U4 = 32. Tentukansuku ke-8 dan jumlah 8 suku pertama.4.Akar persamaan 2x2 – 20x + (7k – 1) = 0merupakan suku pertama dan suku ke-2suatu deret geometri yang rasionya lebihbesar 1. Jika kedua akar tersebutberbanding 2 : 3. Tentukan suku ke-4 danke-6.5.Suku pertama, ketiga dan kesembilanbarisan aritmetika membentuk barisangeometri yang jumlahnya 26. Tentukanjumlah suku ke-4 dari barisan aritmetikadan barisan geometri tersebut.6.Pak Hasim ingin membeli 50 ekor ayamuntuk suatu acara. Oleh pedagang, iadiminta membayar Rp10.000,00 untuksatu ekornya. Namun, Pak Hasimmenawar Rp6.000,00 untuk satu ekorayam dan naik 3% dari harga paling awaluntuk satu ekor ayam berikutnya sampaidiperoleh 50 ekor ayam. Jika pedagangmenyetujui penawaran tersebut, untungatau rugikah pedagang tersebut? Beraparupiahkah itu?Kata BijakPermasalahan sukar dan sulit diputuskan dalam hidup adalahsuatu cobaan untuk menuju ke arah kesuksesan.
167Latihan Ujian Nasional1.Dengan merasionalkan penyebut, bentuksederhana dari 323< adalah ....a.36 – 1b.3 + 6c.3 – 6d.–3 – 6e.3– 62.Dari 48 orang siswa di suatu kelas, 27siswa gemar Matematika, 20 siswagemar TIK, dan 7 orang gemar Mate-matika dan TIK. Banyaknya siswa yangtidak gemar Matematika dan TIK adalah....a.1 orangb.3 orangc.5 orangd.8 orange.9 orang3.Dalam suatu acara peragaan busanaakan ditampilkan 6 peragawati yangdipilih dari 20 peragawati terkenal darikota B. Banyaknya susunan berbeda dariperagawati yang mungkin tampil padaacara tersebut adalah ....a.5.040d. 840b.1.680e. 210c.1.2604.Suatu tim bulutangkis terdiri atas 3 putradan 2 putri. Jika akan dibentuk pasanganganda, peluang terbentuknya pasanganganda campuran adalah ....a.0,2b.0,3c.0,4d.0,5e.0,65.Peluang Ali lolos SPMB adalah 0,4 danpeluang Budi tidak lolos SPMB adalah0,4. Peluang hanya satu dari mereka yanglolos SPMB adalah ....a.0,40d. 0,38b.0,52e. 0,16c.0,366.Akar persamaan kuadrat x2 + 7x – 2 = 0adalah a dan b. Persamaan kuadrat yangakar-akarnya (a – 1) dan (b – 1) adalah ....a.x2 – 5x + 1 = 0b.x2 + 5x + 1 = 0c.x2 + 9x – 6 = 0d.x2 – 9x – 6 = 0e.x2 + 9x + 6 = 07.Persamaan (k – 1)x2 – 8x – 8k = 0mempunyai akar-akar real maka nilai kadalah ....a.–2 )k) –1b.–2 )k) 1c.–1 )k) 2d.k) –1 atau k) 2e.k ) –1 atau k) 18.Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –2x2 +8x +3 dengan daerah asal {x | –1 )x) 4,xDR}. Daerah hasil fungsi adalah ....a.{y | –7 )y) 11, yDR}b.{y | –7 )y) 3, yDR}c.{y | –7 )y) 19, yDR}d.{y | –3 )y) 11, yDR}e.{y | –3 )y) 19, yDR}9.Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5dan –2 adalah ....a.x2 + 7x + 10 = 0b.x2 – 7x + 10 = 0c.x2 + 3x + 10 = 0d.x2 + 3x – 10 = 0e.x2 – 3x – 10 = 0Latihan Ujian Nasional• Kerjakan di buku tugasPilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang(x) pada huruf a, b, c, d, atau e.
168Khaz Matematika SMA 3 Bhs10. Jika x0, y0, dan z0 adalah penyelesaiansistem persamaan:2x + z = 5y – 2z + 3 = 0x + y – 1 = 0maka x0 + y0 + z0 = ....a.–4d. 4b.–1e. 6c.211. Nilai x yang memenuhi sistempersamaan:y = –y = –512xxx 6 0 ̈©ªadalah ....a.2 atau 3b.1 atau 6c.–3 atau –2d.–10 atau 6e.–10 atau 512. Himpunan penyelesaian dari pertidak-samaan x2 – 5x – 6 > 0, untuk xDR,adalah ....a.{x | –6 < x < 1}b.{x | –3 < x < 2}c.{x | x < –6 atau x > 6}d.{x | x < –1 atau x > 6}e.{x | x < 2 atau x > 3}13. Nilai x yang memenuhi 123912xx++ < 0adalah ....a.x < –12 atau x > –3b.–3 > x > –12c.x < 3 atau x > 12d.3 < x < 12e.x < –1214. Nilai-nilai x yang memenuhi |x + 3| ) 1adalah ....a.x )–1 atau x* 3b.x )–1 atau x* 1c.–4 ) x) –2d.x )–2 atau x* –4e.x )–4 atau x* –215. Nilai ujian Matematika sekelompoksiswa adalah sebagai berikut:3 siswa masing-masing bernilai 50,5 siswa masing-masing bernilai 60, dan2 siswa masing-masing bernilai 70.Rata-rata nilai Matematika darikelompok siswa tersebut adalah ....a.55b.56c.57d.58e.5916. Dari 100 buah data diketahui dataterbesar 27,5 dan data terkecil 3,8. Jikadata tersebut akan disusun dalam suatutabel distribusi frekuensi nilai kelompok,maka intervalnya (panjang kelas)adalah ....a.6,0d. 3,0b.5,0e. 2,9c.4,017. Rata-rata nilai UN sembilan orang siswaadalah 5. Kemudian, ada seorang siswayang mengikuti UN susulan sehinggasekarang rata-rata nilai siswa menjadi5,4 maka nilai siswa yang mengikuti UNsusulan tersebut adalah ....a.5d. 8b.6e. 9c.718.Median data di atas adalah ....a.55,6b.55,0c.54,5d.53,5e.33,0NilaiFrekuensi47–49150–52653–55656–58759–614
169Latihan Ujian Nasionala.15b.12c.25d.35e.4522. Dari sebuah kotak yang berisi 6 kelerengberwarna merah dan 4 kelerengberwarna putih diambil 3 kelerengsekaligus secara acak. Peluang terambilkelereng-kelereng tersebut ketiganyaberwarna merah adalah ....a.23b.35c.116d.221e.11223. Ingkaran dari pernyataan ”Semuamakhluk hidup perlu makan dan minum”adalah ....a.Semua makhluk hidup tidak perlumakan dan minumb.Ada makhluk hidup yang tidakperlu makan atau minumc.Ada makhluk hidup yang tidakperlu makan dan minumd.Semua makhluk tidak hidup perlumakan dan minume.Semua makhluk hidup perlu makantetapi tidak perlu minum19.Nilai UjianFrekuensi3244566207108592101Uang SakuFrekuensi(ribuan rupiah)1 – 3134 – 6257 – 94010 – 121013 – 1512Nilai ujian dari peserta seleksi pegawaidi suatu instansi diperlihatkan dalamtabel di atas. Seorang calon dinyatakanlulus jika nilainya sama dengan atau diatas rata-rata. Banyak calon yang lulusadalah ....a.8d. 44b.18e. 48c.3820. Tabel berikut menunjukkan besarnyauang saku siswa suatu SMA dalamribuan rupiah.Modusnya adalah ....a.Rp7.490,00d. Rp7.750,00b.Rp7.500,00e. Rp7.800,00c.Rp7.600,0021. Suatu kelas terdiri atas 50 siswa, 35 diantaranya gemar Matematika dan 25gemar Bahasa Inggris. Jika dipilih secaraacak seorang siswa, peluang terpilihsiswa yang gemar Matematika danBahasa Inggris adalah ....
170Khaz Matematika SMA 3 Bhs24. Diketahui premis-premis:Premis 1 : Jika ia dermawan maka iadisenangi masyarakat.Premis 2 : Ia tidak disenangi masyarakat.Kesimpulan yang sah untuk dua premisdi atas adalah ....a.Ia tidak dermawanb.Ia dermawan tetapi tidak disenangimasyarakatc.Ia tidak dermawan dan tidak dise-nangi masyarakatd.Ia dermawane.Ia tidak dermawan tetapi disenangimasyarakat25. Kesimpulan dari tiga premis:p ~q~rq~radalah ...a.~pb.~qc.qd.pqe.r~q26. Jumlah n suku pertama suatu deretaritmetika adalah S = 2n(n – 3). Sukuke-6 deret tersebut adalah ....a.15b.16c.17d.18e.1927. Seutas pita dibagi menjadi 10 bagiandengan panjang yang membentuk deretaritmetika. Jika pita yang terpendek 20cm dan yang terpanjang 155 cm, makapanjang pita semula adalah ....a.800 cmb.825 cmc.850 cmd.875 cme.900 cm28. Seseorang meminjam uang dengandiskon 2,5% setiap bulan. Jika ia hanyamenerima sebesar Rp390.000,00 makabesar pinjaman yang harus dikembalikansetelah satu bulan adalah ....a.Rp380.000,00b.Rp380.000,00c.Rp390.000,00d.Rp399.000,00e.Rp400.000,0029. Iskandar meminjam uang di koperasisebesar Rp500.000,00. Jika koperasimenghitungkan suku bunga tunggalsebesar 212% setiap bulan, ia harusmengembalikan pinjamannya sebesarRp550.000,00.Lama pinjaman Iskandar adalah ....a.3 bulanb.4 bulanc.5 buland.6 bulane.8 bulan30. Pak Fuad menyimpan uang di bankRp20.000.000,00 dengan suku bungatunggal 12% per tahun selama 6 bulan.Jumlah tabungan Pak Fuad selama 6tahun adalah ....a.Rp 34.400.000,00b.Rp22.400.000,00c.Rp21.200.000,00d.Rp20.600.000,00e.Rp18.800.000,0031. Pada tahun pertama seorang karyawanmendapat gaji pokok Rp300.000,00sebulan. Jika setiap tahun gaji pokoknyadinaikkan sebesar Rp25.000,00 makajumlah gaji pokok karyawan tersebutselama 10 tahun pertama adalah ....a.Rp37.125.000,00b.Rp38.700.000,00c.Rp39.000.000,00d.Rp41.125.000,00e.Rp49.500.000,00
171Latihan Ujian Nasional32. Pandu menabung pada sebuah bankdengan setoran awal Rp20.000,00. Banktersebut memberikan suku bungamajemuk 12% setiap tahun. Besartabungan Pandu pada akhir tahun ke-3adalah ....a.Rp22.400.000,00b.Rp25.088.000,00c.Rp27.200.000,00d.Rp28.098.000,00e.Rp31.470.000,0033. Nilai p yang memenuhi persamaanmatriks:221136241–––³μ³μ + p= 21110124–³μ³μadalah ....a.–2d. 1b.–1e. 2c.034. Jika diketahui persamaan matriks2474xy³μ³μ – 123 =9243³μmakanilai x dan y berturut-turut adalah ....a.5 dan 7d. 7 dan 5b.6 dan 7e. 8 dan 7c.7 dan 835. Nilai maksimum dari f(x, y) = 10x + 20ydengan kendala x* 0, y* 0, x + 4y)120, x + y) 60 adalah ....a.400d. 700b.500e. 800c.60036. Dengan persediaan kain polos 20 m dankain bergaris 10 m, seorang penjahit akanmembuat 2 model pakaian jadi. Model Imemerlukan 1 m kain polos dan 1,5 mkain bergaris. Model II memerlukan 2 mkain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bilapakaian tersebut dijual, setiap model Imemperoleh untung Rp15.000,00 danmodel II memperoleh untungRp10.000,00. Laba maksimum yangdiperoleh adalah sebanyak ....a.Rp100.000,00b.Rp140.000,00c.Rp160.000,00d.Rp200.000,00e.Rp300.000,0037. Seorang wirausahawan di bidang bogaakan membuat kue jenis A dan kue jenisB. Tiap kue jenis A memerlukan 100gram terigu dan 20 gram mentega,sedangkan kue B memerlukan 200 gramterigu dan 30 gram mentega. Wirausa-hawan tersebut hanya mempunyaipersediaan 26 kg terigu dan 4 kgmentega. Jika x menyatakan banyaknyakue jenis A dan y menyatakan banyaknyakue jenis B maka model matematikayang memenuhi adalah ....a.x* 0, y* 0, x +2y* 260;2x + 3y* 400b.x* 0, y* 0, x +2y) 260;2x + 3y* 400c.x) 0, y) 0, x +2y* 260;2x + 3y* 400d.x* 0, y* 0, x +2y) 260;2x + 3y) 400e.x* 0, y* 0, x +2y* 260;2x + 3y) 40038.Perhatikan gambar berikut.Daerah yang diarsir memenuhi sistem ....a.4x + y* 8, 3x + 4y) 24, x +6y* 12b.4x + y* 8, 4x + 3y) 24, 6x + y* 12c.x + 4y* 8, 3x + 4y) 24, x + 6y* 12d.4x + y) 8, 3x + 4y* 24, 6x + y ) 12e.x + 4y* 8, 3x + 4y* 24, x + 6y * 12
172Khaz Matematika SMA 3 Bhs39. Daerah yang diarsir pada gambar berikutmerupakan daerah penyelesaian sistempertidaksamaan linear. Nilai minimumfungsi P = 3x + y dan Q = 2x – y adalah ....a.6 dan 2d. 6 dan –1b.14 dan –1e. –1 dan 6c.2 dan 6
40. Nilai maksimum fungsi objektif z = 4x+ 3y pada daerah penyelesaian berikutadalah ....a.3b.4c.445d.425e.545
173Latihan Ujian NasionalAyres, Frank. 1974. Theory and Problems ofMatrics. New York:McGraw-Hill.____. 1998. Terjemahan Kalkulus. Jakarta: Erlangga.Bartle, Robert G. 1994. Introduction to Real Analysis. New York:John Willey and Sons.Howard, R.D. 1993. Mathematics in Actions. London: NelsonBlackie, Ltd.Isabelle van Welleghem. 2007. Ensiklopedia Pengetahuan. Solo:Tiga Serangkai.Isroah dan Siti Nurjanah. 2004. Kompetensi Dasar Akuntansi,Solo: PT. Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.Junaedi, Dedi, dkk. 1998. Intisari Matematika Dasar SMU.Bandung: Pustaka Setia.Kerami, Djati dkk. 2002. Kamus Matematika. Jakarta: BalaiPustaka.Koesmartono dkk. 1977. Modul Matematika. Bandung: PenerbitITB.Koesmartono dkk. 1983. Pendahuluan Matematika. Bandung:Penerbit ITB.Kreyszig, E. 1988. Advanced Engineering Mathematics. NewYork: John Willey and Sons.Negoro, S.T. dkk. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta:Ghalia Indonesia.Neswan, Oki dan Setya Budi, W. 2003. Matematika 1–3 untukSMA. Bandung: Penerbit ITB.Pimentall, Ric and Wall, T. 2002. IGCSE Mathematics. London:John Murray.Purcell, Edwin J. 1987. Calculus with Analitic Geometry. Lon-don: Prentice-Hall International, Inc.Sembiring, Suwah. 2002. Olimpiade Matematika. Bandung:YRama Widya.Setya Budi, Wono. 2003. Model Buku Pelajaran MatematikaSekolah Menengah Atas. Jakarta: Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan Nasional.Siswanto. 1997. Geometri I. Surakarta: Universitas Sebelas MaretPress.Daftar Pustaka173
174Khaz Matematika SMA 3 BhsSiswanto. 1997. Geometri II. Surakarta: Universitas SebelasMaret Press.Spiegel, Murray R. 2000. Probability and Statistics (Second edi-tion). New York: McGraw-Hill.Spiegel, Murray. 1972. Theory and Problems of Statistics. NewYork: McGraw-Hill.Spiegel, Murray R. 1959. Theory and Problems of Vector Analy-sis. New York: McGraw-Hill.Spiegel, Murray R. 1986. Matematika Dasar (Terjemahan).Jakarta: Erlangga.Steffenson dan Johnson. 1992. Essential Mathematics forColledge Students. New York: Harper Collins Publishers.Susianto, Bambang. 2004. Olimpiade Matematika dengan ProsesBerpikir. Jakarta: Grasindo.
175Latihan Ujian NasionalTABELBunga Majemuk (1 + i)nn34%1% 114%112%134%2%11,0075 00001,0100 00001,0125 00001,0150 00001,0175 00001,0200 000021,0150 56251,0201 00001,0251 56251,0302 25001,0353 06251,0444 000031,0226 69171,0303 10001,0379 70701,0456 78381,0534 24111,8612 311641,0303 39191,0406 04011,0509 45341,0613 63551,0718 59031,0824 311651,0380 66731,0510 10051,0640 82151,0772 84001,0906 16561,1040 000061,0458 52241,0615 20151,0773 83181,0934 43261,1097 02351,1261 624271,0536 96131,0721 35351,0908 50471,1098 44911,1291 22151,1486 856781,0615 98851,0828 56711,1044 86101,1264 92591,1488 81701,1716 393891,0695 60841,0936 85271,1182 92181,1433 89981,1689 87211,1950 9257101,0775 82251,1046 22131,1322 70831,1605 48831,1894 44491,2189 9441111,0856 64411,1156 68351,1464 24221,1779 48941,2102 59771,2633 7431121,0938 06901,1268 25031,1607 54521,1956 18171,2314 39311,2682 4179131,1020 10451,1380 93281,1752 63951,2135 52441,2529 89501,2936 0663141,1102 75531,1494 74211,1899 54751,2317 55731,2749 16821,3194 7876151,1186 02591,1609 68961,2048 29181,2502 32071,2972 27861,3455 6834161,1269 92111,1725 78641,2198 89551,2689 85551,3199 29351,3727 8571171,1354 44551,1843 04431,2351 38171,2880 20331,3430 28111,4002 4142181,1439 60391,1961 47481,2505 77391,3073 40641,3665 31111,4282 4625191,1525 40091,2081 08951,2662 09611,3269 50751,3904 45401,4568 1117201,1611 84141,2201 90041,2820 37231,3468 55011,4147 78201,4859 4740211,1698 93021,2323 91941,2980 62701,3670 57831,4395 36811,5156 6634221,1786 67221,2447 15861,3142 88481,3875 63701,4647 28711,5459 7967231,1875 07231,2571 63021,3307 17091,4083 77151,4903 61461,5768 9926241,1964 13531,2697 34651,3473 51051,4295 02811,5164 42791,6084 3725251,2053 86631,2824 32001,3641 92941,4509 45351,5429 80541,6406 0599261,2144 27031,2952 56311,3812 45351,4727 09531,5699 82691,6734 1811271,2235 35231,3082 08881,3985 10921,4948 00181,5974 57391,7068 8648281,2327 11751,3212 90971,4159 92301,5172 22181,6254 12901,7410 2421291,2419 57091,3345 03881,4336 92211,5399 80511,6538 57621,7758 4469301,2512 71761,3478 48921,4516 13361,5630 80221,6828 00131,8113 6158311,2606 56301,3613 27401,4697 58531,5865 26421,7122 49131,8475 8882321,2701 11221,3749 40681,4881 30511,6103 24321,7422 13491,8845 4059331,2796 37061,3886 90091,5067 32141,6344 79181,7727 02231,9222 3140341,2892 34341,4025 76991,5255 66291,6589 96371,8037 24521,9606 7603351,2989 03591,4166 02761,5446 35871,6838 81321,8352 89701,9998 8953361,3086 45371,4307 68781,5639 43821,7091 39541,8674 07272,0398 8734371,3184 60211,4450 76471,5834 93121,7347 76631,9000 86892,0806 8309381,3283 48661,4595 27241,6032 86781,7607 98281,9333 38412,1222 9879391,3383 11281,4741 22511,6233 27871,7872 10251,9671 71842,1647 4477401,3483 48611,4888 63731,6436 19461,8140 18412,0015 97342,2080 3966411,3584 61231,5037 52371,6641 64711,8412 28682,0366 25302,2522 0046421,3686 49691,5187 89891,6849 66771,8688 47122,0722 66242,2972 4447431,3789 14561,5339 77791,7060 28851,8968 79822,1085 30902,3431 8936441,3892 56421,5493 17571,7273 54211,9253 33022,1454 30192,3900 5314451,3996 75841,5648 10751,7489 46141,9542 13012,1829 75222,4378 5421461,4101 73411,5804 58851,7708 07971,9835 26212,2211 77282,4866 1129471,4207 49711,5962 63441,7929 43062,0132 79102,2600 47892,5363 4351481,4314 05331,6122 26081,8153 54852,0434 78292,2995 98722,5870 7039491,4421 40871,6283 48341,8380 46792,0741 30462,3398 41702,6388 1179501,4529 56931,6446 31821,8610 22372,1052 42422,3807 88932,6915 8803Lampiran
176Khaz Matematika SMA 3 BhsTABELBunga Majemuk (1 + i)nn212%3% 312%4%412%5%11,025. ....1,03.. ....1,035. ....1,04.. ....1,045. ....1,05.. ....21,0506 25001,06091,0712 251,08161,0920 251,102531,0768 90631,0927 271,1087 17881,1284 641,1411 66131,1576 2541,1038 12891,1255 08811,1475 23001,1698 58561,1925 18601,2155 062551,1314 08211,1592 74071,1876 86311,2166 52901,2461 81941,2762 815661,1596 93421,1940 52301,2292 55331,2653 19021,3022 60121,3400 956471,1886 85751,2298 73871,2722 79261,3159 31781,3608 61831,4071 004281,2184 02901,2667 70081,3168 09041,3685 69051,4221 00611,4774 554491,2488 62971,3047 73181,3628 93751,4233 11811,4860 95141,5513 2822101,2800 84541,3439 16381,4105 98761,4802 44281,5529 69421,6288 9463111,3120 86661,3842 33871,4599 69721,5394 54061,6228 53051,7103 3926121,3448 88821,4257 60891,5110 68661,6010 32221,6958 81431,7958 5633131,3785 11041,4685 33711,5639 56061,6650 73511,7721 96101,8856 4914141,4129 73821,5125 89721,6186 94521,7316 76451,8519 44921,9799 3166151,4482 98171,5579 67421,6753 48831,8009 43511,9352 82242,0789 2818161,4845 05621,6047 06441,7339 96041,8729 81252,0223 70152,1828 7459171,5216 18261,6528 47631,7946 75551,9479 00502,1133 76812,2920 1832181,5596 58721,7024 33061,8574 89202,0258 16522,2084 78772,4066 1923191,5986 50191,7535 06051,9225 01322,1068 49182,3078 60312,5269 5020201,6386 16441,8061 11231,9897 88862,1911 23142,4117 14022,6532 9771211,6795 81851,8602 94572,0594 31472,2787 68072,5202 41162,7859 6259221,7215 71401,9161 03412,1315 11582,3699 18792,6336 52012,9252 6072231,7646 10681,9735 86512,2061 11452,4647 15542,7521 66353,0715 2376241,8087 72592,0327 94112,2833 28492,5633 04162,8760 13833,2250 9994251,8539 44102,0937 77932,3632 44982,6658 36333,0054 34463,3863 5494261,9002 92702,1565 91272,4459 58562,7724 69783,1406 79013,5556 7269271,9478 00022,2212 89012,5315 67112,8833 68583,2820 09563,7334 5632281,9964 95022,2879 27682,6201 17202,9987 03323,4296 99993,9201 2914292,0464 73942,3565 65512,7118 77982,1186 51453,5840 36494,1161 3560302,0975 67582,4272 62472,8067 93703,2433 97513,7453 18134,3219 4238312,1500 00682,5000 80352,9050 31483,3731 33413,9138 57454,5380 3949322,2037 56942,5750 82763,0067 07593,5080 58754,0899 81044,7649 4147332,2588 50862,6523 35243,1119 42353,6483 81104,2740 30185,0031 8854342,3153 22132,7319 05303,2208 60353,7943 16344,4663 61545,2533 4797352,3732 05192,8138 62453,3355 90453,9460 88994,6673 47815,5160 1537362,4325 35322,8982 78333,4502 66114,1039 32554,8773 78465,7918 1614372,4933 48702,9852 26683,5710 25434,2680 89865,0968 60496,0814 0694382,5556 82423,0747 83483,6960 11314,4388 13455,3262 19216,3854 7729392,6195 74483,1670 26983,8253 71714,6163 65995,5658 99086,7047 5115402,6850 63843,2620 37793,9592 59724,8010 20635,8163 64547,0399 8871412,7521 90433,3598 98934,0978 33814,9930 61456,0781 00947,3919 8815422,8209 95193,4606 94894,2412 57995,1927 83916,3516 15847,7615 8756432,8915 20073,5645 16774,3897 02025,4004 95276,6374 38188,1496 6693442,9638 08083,6714 52274,5433 41605,6165 15086,9361 22908,5571 5028453,0379 03283,7815 95844,7023 58555,8411 75687,2482 48438,9850 0779463,1138 50863,8950 43724,8669 41106,0748 22717,5744 19619,4342 5818473,1916 97134,0118 95035,0372 84046,3178 15627,9152 68499,9059 7109483,2714 89564,1322 51885,2135 88986,5705 28248,2714 555710,4012 6965493,3532 76804,2562 19445,3960 64596,8333 49378,6436 710710,9213 3313503,4371 08724,3839 06025,5849 26867,1066 83359,0326 362711,4673 9979
177Latihan Ujian NasionalTABELBunga Majemuk (1 + i)nn512%6% 612%7%712%8%11,0550 00001,0600 00001,0650 00001,0700 00001,0750 00001,0800 000021,1130 25001,1236 00001,1342 25001,1449 00001,1556 25001,1664 000031,1742 41381,1910 16001,2079 49631,2250 43001,2422 96881,2597 120041,2388 24651,2624 76961,2864 66351,3107 96011,3354 69141,3604 889651,3069 60011,3382 25581,3700 86661,4026 54731,4356 29331,4693 280861,3788 42811,4185 19111,4591 42301,5007 30351,5433 01531,5868 743271,4546 79161,5036 30261,5539 86551,6057 81481,6590 49141,7138 242781,5346 86511,5938 48071,6549 95671,7181 86181,7834 77831,8509 302191,6190 94271,6894 78961,7625 70391,8384 59211,9172 38661,9990 0463101,7081 44461,7908 47701,8771 37471,9671 51362,0610 31562,1589 2500111,8020 92401,8982 98561,9991 51402,1048 51952,2156 08932,3316 3900121,9012 07492,0121 96472,1290 96242,2521 91592,3817 79602,5181 7012132,0057 73902,1329 28262,2674 87502,4098 87502,5604 13072,7196 2373142,1160 91462,2609 03962,4148 74182,5785 34152,7524 44052,9371 9362152,2324 76492,3965 58192,5718 41012,7590 31542,9588 77353,1721 6911162,3552 62702,5403 51682,7390 10672,9521 63753,1807 93153,4259 4264172,4848 02152,6927 72792,9170 46373,1588 14213,4193 52643,7000 1805182,6214 66272,8543 39153,1066 54383,3799 32283,6758 04093,9960 1950192,7656 46913,0255 99503,3085 86913,6165 27543,9514 89404,3157 0106202,9177 57493,2071 35473,5236 45063,8696 84464,2478 51104,6609 5714213,0782 34153,3995 63603,7526 81994,1405 62374,5664 39935,0338 3372223,2475 37033,6035 37423,9966 06324,4304 01744,9089 22935,4365 4041233,4261 51573,8197 49664,2563 85734,7405 29865,2770 92155,8714 6365243,6145 89904,0489 34644,5330 50815,0723 66955,6728 74066,3411 8074253,8133 92354,2918 70724,8276 99115,4274 32646,0983 39616,8484 7520264,0231 28934,5493 82965,1414 99555,8073 52926,5557 15087,3963 5321274,2444 01024,8223 45945,4756 97026,2138 67637,0473 93717,9880 6147284,4778 43075,1116 86705,8316 17336,6488 38367,5759 48248,6271 0639294,7241 24445,4183 87906,2106 72457,1142 57058,1441 44369,3172 7490304,9839 51295,7434 91176,6143 66167,6122 55048,7549 551910,0626 5689315,2580 68616,0881 00647,0442 99968,1451 12909,4115 768310,8676 6944325,5472 62386,4533 86687,5021 79468,7152 708010,1174 450911,7370 8300335,8523 61816,8405 89887,9898 21139,3253 397510,8762 534712,6760 4964346,1742 41717,2510 25288,5091 59509,9781 135411,6919 724813,6901 3361356,5138 25017,6860 86799,0622 548710,6765 818412,5688 704214,7853 4429366,8720 85388,1472 52009,6513 014311,4239 421913,5115 357015,9681 7184377,2500 50088,6360 871210,2786 360312,2236 181414,5249 008817,2456 2558387,6488 02839,1542 523510,9467 473713,0792 714115,6142 684418,6252 7563398,0694 86999,7035 074911,6582 859513,9948 204116,7853 385820,1152 9768408,5133 087710,2857 179412,4160 745314,9744 578418,0442 389721,7245 2150418,9815 407610,9028 610113,2231 193816,0226 698919,3975 568923,4624 8322429,4755 255011,5570 326714,0826 221417,1442 567820,8523 736625,3394 8187439,9966 794012,2504 546314,9979 925818,3443 547522,4163 016827,3666 40424410,5464 967712,9854 819115,9728 620919,6284 595924,0975 243129,5559 71664511,1265 540913,7646 108317,0110 981321,0024 517625,9048 386331,9204 49394611,7385 145614,5904 874818,1168 195122,4726 233827,8477 015334,4740 85344712,3841 328715,4659 167319,2944 127824,0457 070229,9362 791537,2320 12174813,0652 601716,3938 717320,5485 496125,7289 065132,1815 000840,2105 73144913,7838 494817,3775 040321,8842 053327,5299 299734,5951 125943,4274 18995014,5419 612018,4201 542723,3066 786829,4570 250637,1897 460346,9016 1251Sumber: Kompetensi Dasar Akuntansi, 2005Lampiran
178Khaz Matematika SMA 3 BhsTABELBunga Majemuk (1 + i)–nn34%1% 114%112%134%2%10,9925 55830,9900 99010,9876 54320,9852 21670,9828 00980,9803 921620,9851 67080,9802 96050,9754 61060,9706 61750,9658 97770,9611 687830,9778 33330,9705 90150,9634 18330,9563 16990,9492 85280,9423 223440,9705 54170,9609 80350,9515 24280,9421 84230,9329 58510,9238 454350,9633 29200,9514 65690,9397 77060,9282 60330,9169 12540,9057 308160,9561 58020,9420 45240,9281 74880,9145 42190,9011 42540,8879 713870,9490 40220,9327 18050,9167 15930,9010 26790,8856 43780,8705 601880,9419 75400,9234 83220,9053 98450,8877 11120,8704 11570,8534 903790,9349 63180,9143 39820,8942 20690,8745 92240,8554 41350,8367 5270100,9280 03150,9052 86960,8831 80930,8616 67230,8407 28600,8203 4830110,9210 94940,8963 23720,8722 77460,8489 33230,8262 68890,8042 6304120,9142 38160,8874 49230,8615 08600,8363 87420,8120 57880,7884 9318130,9074 32410,8786 62600,8508 72690,8240 27200,7980 91280,7730 3253140,9006 77330,8699 62970,8403 68090,8118 49280,7843 64900,7578 7503150,8938 72540,8613 49480,8299 93180,7998 51510,7708 74590,7430 1473160,8873 17660,8528 21260,8197 46350,7880 31040,7576 16310,7284 4581170,8807 12310,8443 77490,8096 26020,7763 85260,7445 86050,7141 6256180,8741 56140,8360 17310,7996 30640,7649 11590,7317 79900,7001 5938190,8676 48780,8277 39920,7897 58660,7536 07480,7191 94010,6864 3076200,8611 89850,8195 44470,7800 08550,7424 70420,7068 24580,6729 7133210,8547 79010,8114 30170,7703 78810,7314 97950,6946 67890,6597 7582220,8484 15890,8033 96210,7608 67960,7206 87640,6827 20280,6468 3904230,8421 00140,7954 41790,7514 74530,7100 37080,6709 78170,6341 5592240,8358 83140,7875 66130,7421 97070,6995 43920,6594 38000,6217 2149250,8296 09330,7797 68440,7330 34140,6892 05830,6480 96320,6095 3087260,8234 33580,7720,47960,7239 84340,6790 20520,6369 49700,5975 7929270,8173 03800,7644 03920,7150 46260,6689 85740,6259 94790,5858 6204280,8112 19660,7568 35570,7062 18530,6590 99250,6152 28290,5743 7455290,8051 80800,7493 42150,6974 99780,6493 58870,6046 46970,5631 1231300,7991 87900,7419 22920,6888 88670,6397 62430,5942 47640,5520 7089310,7932 37620,7345 77150,6803 83870,6303 07810,5840 27160,5412 4597320,7873 32620,7273 04110,6719 84070,6209 92920,5739 82470,5306 3333330,7814 71590,7201 03080,6636 87970,6118 15680,5641 10530,5202 2873340,7756 54180,7129 73340,6554 94300,6027 74070,5544 08390,5100 2817350,7698 80080,7059 14200,6474 01770,5938 66080,5448 73110,5000 2761360,7641 48960,6989 24950,6394 09160,5850 89740,5355 01830,4902 2315370,7584 60510,6920 04900,6315 15220,5764 43090,5262 91720,4806 1093380,7528 14400,6851 53370,6237 18730,5679 24230,5172 40020,4711 8719390,7472 10320,6783 69670,6160 18500,5595 31260,5083 44000,4619 4822400,7416 47960,6716 53140,6084 13340,5512 62320,4996 00980,4528 9042410,7361 27010,6650 03110,6009 02060,5431 15590,4910 08340,4440 1021420,7306 47160,6584 18920,5934 83520,5350 89250,4825 63480,4353 0413430,7252 08100,6581 99920,5861 56560,5271 81530,4742 63860,4267 6875440,7198 09520,6454 45470,5789 20060,5193 90670,4661 06990,4184 0074450,7144 51140,6390 54920,5717 72900,5117 14940,4580 90400,4101 9680460,7091 32650,6327 27640,5647 13970,5041 52650,4502 11700,4021 5373470,7038 53740,6264 63010,5577 42200,4967 02120,4424 68500,3942 6836480,6986 14140,6202 60410,5508 56490,4893 61700,4348 58480,3865 3761490,6934 13530,6141 19210,5440 55790,4821 29750,4273 79340,3789 5844500,6882 51650,6080 38830,5373 39050,4750 04680,4200 28830,3715 2788
179Latihan Ujian Nasionaln212%3% 312%4%412%5%10,9756 09760,9708 73790,9661 83570,9615 38460,9569 37800,9523 809520,9518 14400,9425 95910,9335 10700,9245 56210,9157 29950,9070 294830,9285 99410,9151 41660,9019 42710,8889 96360,8762 96600,8638 376040,9059 50640,8884 87050,8714 42230,8548 04190,8385 61340,8227 024750,8838 54290,8626 08780,8419 73170,8219 27110,8024 51050,7835 261760,8622 96870,8374 84260,8135 00640,7903 14530,7678 95740,7462 154070,8412 65240,8130 91510,7859 90960,7599 17810,7348 28460,7106 813380,8207 46570,7894 09230,7594 11560,7306 90210,7031 85130,6768 089290,8007 28360,7664 16730,7337 30970,7025 86740,6729 04430,6446 0892100,7811 98400,7440 93910,7089 18810,6755 64170,6439 27680,6139 1325110,7621 44780,7224 21280,6849 45710,6495 80930,6161 98740,5846 7929120,7435 55890,7013 79880,6617 83300,6245 97050,5896 63860,5563 3742130,7254 20380,6809 51340,6394 04150,6005 74090,5642 71640,5303 2135140,7077 27200,6611 17810,6177 81790,5774 75080,5399 72860,5050 6795150,6904 65560,6418 61950,5968 90620,5552 64500,5167 20440,4810 1710160,6736 24930,6231 66940,5767 05910,5339 08180,4944 69320,4581 1152170,6571 95060,6050 16450,5572 03780,5133 73250,4731 76390,4362 9669180,6411 65910,5873 94610,5383 61140,4936 28120,4528 00370,4155 2065190,6255 27720,5702 86030,5201 55690,4746 42420,4333 01790,3957 3396200,6102 70940,5536 75750,5025 65880,4563 86950,4146 42460,3768 8948210,5653 86290,5375 49280,4855 70900,4388 33600,3967 87430,3589 4236220,5808 64670,5218 92500,4691 50630,4219 55390,3797 00890,3418 4987230,5666 97240,5066 91750,4532 85630,4057 26330,3633 50130,3255 7131240,5528 75350,4919 33740,4379 57130,3901 21470,3477 03470,3100 6791250,5393 90590,4776 05570,4231 46990,3751 16800,3327 30600,2953 0277260,5262 34720,4636 94730,4088 37670,3606 89230,3184 02480,2812 4073270,5133 99730,4501 89060,3950 12240,3468 16570,3046 91370,2678 4832280,5008 77780,4370 76750,3816 54340,3334 77470,2915 70690,2550 9364290,4886 61250,4243 46360,3687 48150,3206 51410,2790 15020,2429 4632300,4767 42690,4119 86760,3562 78410,3083 18670,2670 00020,2313 7745310,4651 14810,3999 87150,3442 30350,2964 60260,2555 02410,2203 5947320,4537 70550,3883 37030,3325 89710,2850 57940,2444 99910,2098 6617330,4427 02980,3770 26250,3213 42710,2740 94170,2339 71210,1998 7254340,4319 05340,3660 44900,3104 76050,2635 52090,2238 95890,1903 5480350,4213 71070,3553 83400,2999 76860,2534 15470,2142 54440,1812 9029360,4110 93720,3450 32430,2898 32720,2436 68720,2050 28170,1726 5741370,4010 67050,3349 82940,2800 31610,2342 96850,1961 99210,1644 3563380,3912 84920,3252 26150,2705 61940,2252 85430,1877 50440,1566 0536390,3817 41390,3157 53550,2614 12500,2166 20610,1796 65490,1491 4797400,3724 30620,3065 56840,2525 72470,2082 89040,1719 28700,1420 4568410,3633 46950,2976 28000,2440 31370,2002 77930,1645 25070,1352 8160420,3544 84830,2889 59220,2357 79100,1925 74930,1574 40260,1288 3962430,3458 38860,2805 42940,2278 05900,1851 68200,1506 60540,1227 0440440,3374 03760,2723 71780,2201 02310,1780 46350,1441 72760,1168 6133450,3291 74400,2644 38620,2126 59240,1711 98410,1379 64370,1112 9651460,3211 45760,2567 36530,2054 67870,1646 13860,1320 23320,1059 9668470,3133 12940,2492 58760,1985 19680,1582 82560,1263 38100,1009 4921480,3056 71160,2419 98800,1918 06450,1521 94760,1208 97710,0961 4211490,2982 15760,2349 50290,1853 20240,1463 41120,1156 91580,0915 6391500,2909 42210,2281 07080,1790 53370,1407 12620,1107 09650,9872 0373TABELBunga Majemuk (1 + i)–nLampiran
180Khaz Matematika SMA 3 BhsTABELBunga Majemuk (1 + i)–nn512%6% 612%7%712%8%10,9478 67300,9433 96230,9389 67140,9345 79440,9302 32560,9259 259320,8984 52420,8899 96440,8816 59280,8734 38730,8653 32610,8573 388230,8516 13660,8396 19280,8278 49090,8162 97880,8049 60570,7938 322440,8072 16740,7920 93660,7773 23090,7628 95210,7488 00530,7350 298650,7651 34350,7472 58170,7298 80840,7129 86180,6965 58630,6805 832060,7252 45830,7049 60540,6853 34120,6663 42220,6479 61520,6301 696370,6874 36810,6650 57110,6435 06210,6227 49740,6027 54900,5834 904080,6515 98870,6274 12370,6042 31190,5820 09100,5607 02230,5402 688890,6176 29260,5918 98460,5673 53230,5439 33740,5215 83470,5002 4897100,5854 30580,5583 94780,5327 26040,5083 49290,4851 93930,4631 9349110,5549 10500,5267 87530,5002 12240,4750 92800,4513 43190,4288 8286120,5259 81520,4969 69360,4696 82850,4440 11960,4198 54130,3971 1376130,4985 60680,4688 39020,4410 16760,4149 64450,3905 61980,3676 9792140,4725 69370,4423 00960,4141 00250,3878 17240,3633 13470,3404 6104150,4479 33050,4172 65060,3888 26520,3624 46020,3379 66020,3152 4170160,4245 81900,3936 46280,3650 95330,3387 34600,3143 86990,2918 9047170,4024 46530,3713 64420,3428 12510,3165 74390,2924 53020,2702 6895180,3814 65900,3503 43790,3218 89690,2958 63920,2720 49320,2502 4903190,3615 79060,3305 13010,3022 43840,2765 08332530 69130,2317 1206200,3427 28960,3118 04730,2837 97030,2584 19000,2354 13150,2145 4821210,3248 61580,2941 55400,2664 76080,2415 13090,2189 88970,1986 5575220,3079 25670,2775 05100,2502 12280,2257 13170,2037 10670,1839 4051230,2918 72670,2617 97260,2349 41110,2109 46880,1894 58300,1703 1528240,2766 56560,2469 78550,2206 01980,1971 46620,1762 77490,1576 9934250,2622 33700,2329 98630,2071 38010,1842 49180,1639 79060,1460 1790260,2485 62750,2198 10030,1944 96790,1721 95490,1525 38660,1352 0176270,2356 04050,2073 67950,1826 25150,1609 30370,1418 96430,1251 8682280,2233 21810,1956 30140,1714 79020,1504 02210,1319 96680,1159 1372290,2116 79440,1845 56740,1610 13160,1405 62820,1227 87610,1073 2752300,2006 44020,1741 10130,1511 86070,1313 67120,1142 21030,0993 7733310,1901 83900,1642 54840,1419 58750,1227 73010,1062 52120,0920 1605320,1802 69100,1549 57400,1332 94600,1147 41130,0988 39180,0852 0005330,1708 71190,1461 86220,1251 59250,1072 34700,0919 43430,0788 8893340,1619 63210,1379 11530,1175 20420,1002 19340,0855 28770,0730 4531350,1535 19360,1301 06220,1103 47810,0936 62940,0795 61640,0676 3454360,1455 16240,1227 40770,1036 12970,0875 35460,0740 10830,0626 2458370,1379 30080,1157 93180,0972 89170,0818 08840,0688 47290,0579 8572380,1307 39410,1092 38850,0913 51340,0764 56860,0640 43990,0536 9048390,1239 23620,1030 55520,0857 75900,0714 55010,0595 75800,0497 1314400,1174 63140,0972 22190,0805 40750,0667 80380,0554 19350,0460 3093410,1113 39470,0917 19050,0756 25120,0624 11570,0515 52880,0426 2123420,1055 35040,0865 27400,0710 09500,0583 28570,0479 56170,0394 6411430,1000 33220,0816 29620,0666 75590,0545 12680,0446 10390,0365 4084440,0948 18220,0770 09080,0626 06190,0509 46430,0414 98040,0338 3411450,0898 75090,0726 50070,0587 85150,0476 13490,0386 02830,0313 2788460,0851 89650,0685 37810,0551 97330,0444 98590,0359 09610,0290 0730470,0807 48490,0646 58310,0518 28480,0415 87470,0334 04280,0268 5861480,0765 38850,0609 98400,0486 65240,0388 66790,0310 73750,0248 6908490,0725 48670,0675 45660,0456 95060,0363 24100,0289 05820,0230 2693500,0687 66520,0542 88360,0429 06160,0339 47760,0268 89130,0213 2123
181Latihan Ujian NasionalNilai Anuitas111 + ittn()<=-n112%2%212%3% 312%11,0150 00001,0200 00001,0250 00001,0300 00001,0350 000020,5112 77920,5150 49500,5188 27161,5226 10840,5264 004930,3433 82960,3467 54670,3501 37170,3535 30360,3569 341840,2594 44790,2626 23750,2658 17880,2690 27050,2722 511450,2090 89320,2121 58390,2152 46860,2183 54570,2214 813760,1755 25210,1785 25810,1815 49970,1845 97500,1876 682170,1515 56160,1545 11960,1574 95430,1605 06350,1635 444980,1335 84020,1365 09800,1394 67350,1424 56390,1454 766590,1196 09820,1225 15440,1254 56890,1284 33860,1314 4601100,1084 34180,1113 26530,1142 58760,1172 30510,1202 4137110,0992 93840,1021 77940,1051 05960,1080 77450,1110 9197120,0916 79990,0945 59600,0974 87130,1004 62090,1034 8395130,0852 40360,0881 18350,0910 48270,0940 29540,0970 6157140,0797 23320,0826 01970,0855 36520,0885 26340,0915 7073150,0749 44360,0778 25470,0807 66460,0837 66580,0868 2507160,0707 65080,0736 50130,0765 98990,0796 10850,0826 8483170,0670 79660,0699 69840,0729 27770,0759 52530,0790 4313180,0638 05780,0667 02100,0696 70080,0727 08700,0758 1684190,0608 78470,0637 81770,0667 60620,0698 13880,0729 4033200,0582 45740,0611 56720,0641 47130,0672 15710,0703 6108210,0558 65500,0587 84770,0617 88330,0648 71780,0680 3659220,0537 03320,0566 31400,0596 46610,0627 47390,0659 3207230,0517 30750,0546 68100,0576 96380,0608 13900,0640 1880240,0499 24100,0528 71100,0559 12820,0590 47420,0622 7283250,0482 63450,0512 20440,0542 75920,0574 17870,0606 7404260,0467 31960,0496 99230,0527 68750,0559 38290,0592 0540270,0453 15270,0482 93090,0513 76870,0545 64210,0578 5241280,0440 01080,0469 89670,0500 87930,0532 93230,0566 0265290,0427 78780,0457 78360,0488 91270,0521 14670,0554 4538300,0416 39190,0446 49920,0477 77640,0510 19260,0543 7133310,0405 74300,0435 96350,0567 39000,0499 98930,0533 7240320,0395 77100,0426 10610,0457 68310,0490 46620,0524 4150330,0386 41440,0416 86530,0448 59380,0481 56120,0515 7242340,0337 61890,0408 18670,0440 06750,0478 21960,0557 5966350,0369 33630,0400 02210,0432 05580,0465 39290,0599 9835360,0361 52400,0392 32850,0424 51580,0458 03790,0492 8416370,0354 14370,0385 06780,0417 40900,0451 11620,0486 1325380,0347 16130,0378 20570,0410 70120,0444 59340,0479 8214390,0340 54630,0371 71140,0404 36150,0438 43850,0473 8775400,0334 27100,0365 55750,0398 36230,0432 62380,0468 2728410,0328 31060,0359 71880,0392 67860,0427 12410,0462 9822420,0322 64260,0354 17290,0387 28760,0421 91670,0457 9828430,0317 24650,0348 89930,0382 16880,0416 98110,0453 2539440,0312 10380,0343 87940,0377 30370,0412 29850,0448 7768450,0307 19760,0339 09620,0372 67510,0407 85180,0444 5343460,0302 51250,0334 53420,0368 26760,0403 62540,0440 5108470,0298 03420,0330 17920,0364 06690,0399 60510,0436 6919480,0293 75000,0326 01840,0360 05990,0395 77770,0433 0646490,0289 64780,0322 03960,0356 23480,0392 13140,0429 6167500,0285 71680,0318 23210,0352 58060,0388 65490,0426 3371Lampiran
182Khaz Matematika SMA 3 BhsNilai Anuitas111 + ittn()<=-n4%412%5%512%6%11,0400 00001,0450 00001,0500 00001,0550 00001,0600 000020,5301 96080,5339 97560,5378 04880,5416 18000,5454 368930,3603 48540,3637 73360,3672 08560,3706 54070,3741 098140,0754 90050,2787 43650,2820 11 830,2852 94490,2885 914950,2246 27710,2277 91640,2309 74800,2341 76440,2373 964060,1907 61900,1938 78390,1970 17470,2001 78950,2033 626370,1666 09610,1697 01470,1728 19820,1759 64420,1791 350280,1485 27830,1516 09650,1547 21810,1578 64010,1610 359490,1344 92990,1375 74470,1406 90080,1438 39460,1470 2224100,1232 90940,1263 78820,1295 04570,1326 67770,1358 6796110,1141 49040,1172 48180,1203 88890,1235 70650,1267 9294120,1065 52170,1096 66190,1128 25410,1160 29230,1192 7703130,1001 43730,1032 75350,1062 55770,1096 84260,1129 6011140,0946 68970,0978 20320,1010 23970,1042 79120,1075 8491150,0999 41100,0931 13810,0963 42290,0996 25600,1029 6276160,0858 20000,0890 15370,0922 69910,0955 82540,0998 5214170,0821 98520,0854 17580,0886 99140,0920 41970,0954 4480180,0789 93330,0822 36900,0855 46220,0889 19920,0923 5654190,0761 38620,0794 07340,0827 45010,0861 50060,0896 2086200,0735 81750,0768 76140,0802 42590,0836 79330,0871 8456210,0712 80110,0746 00570,0779 96110,0814 64780,0850 0455220,0691 98810,0725 45650,0759 70510,0794 71230,0830 4557230,0673 09060,0706 82490,0741 36820,0776 69650,0812 7848240,0655 86830,0689 87030,0724 70900,0760 35800,0796 7900250,0640 11960,0674 39030,0509 52460,0745 49350,0782 2672260,0625 67380,0660 21370,0695 64320,0731 93070,0769 0435270,0612 38540,0647 19460,0682 91860,0719 52280,0756 9717280,0600 12980,0635 20810,0671 22530,0708 14400,0745 9255290,0588 79930,0624 14610,0660 45510,0697 68570,0735 7961300,0578 30100,0613 91540,0650 51440,0688 05390,0726 4891310,0568 55350,0604 43450,0541 32120,0679 16650,0717 9222320,0559 48590,0595 63200,0632 80420,0670 95190,0710 0234330,0551 03570,0587 44530,0624 90040,0663 34690,0720 7293340,0543 14770,0579 81910,0617 55450,0656 29580,0695 9843350,0535 77320,0572 70450,0610 71710,0649 74930,0698 7386360,0528 86880,0566 05780,0604 34460,0663 66350,0683 9483370,0522 39570,0559 84020,0598 39790,0637 99930,0678 5743380,0516 31920,0554 01690,0592 84230,0632 72170,0673 5812390,0510 60830,0548 55670,0587 64620,0627 79910,0668 9377400,0505 23490,0543 43150,0582 78160,0623 20340,0664 6154410,0500 17380,0538 61580,0578 22290,0918 90900,0660 5886420,0495 40200,0534 08680,0573 94710,0614 89270,0656 8342430,0490 89890,0529 82350,0569 93330,0611 13370,0653 3312440,0486 64540,0525 80710,0566 16250,0607 61280,0650 0606450,0482 62460,0522 02020,0562 61730,0604 31270,0647 0050460,0478 82050,0518 44710,0559 28200,0601 21750,0644 1485470,0475 21890,0515 07340,0556 14210,0598 31290,0641 4768480,0471 80650,0511 88580,0553 18430,0595 58540,0638 9765490,0468 57120,0508 87220,0550 39650,0593 02300,0636 6356500,0465 50200,0506 02150,0547 76740,0590 61450,0634 4429Sumber: Kompetensi Dasar Akuntansi, 2005
183Latihan Ujian NasionalBarisan: susunan angka-angka yang me-miliki cirri (pola) khusus, 103–104Barisan aritmetika:suatu barisan dengan selisih darisatu suku ke suku berikutnya yangberurutan selalu tetap, 107Barisan geometri: suatu barisan dengan perban-dingan dari satu suku terhadapsuku berikutnya yang berurutanselalu tetap, 117Beda:selisih tetap antarsuku berurutandalam barisan aritmetika, 107Deret: jumlahan suku-suku dari suatubarisan, 105Deret aritmetika:suatu deret yang diperoleh denganpenjumlahan suku-suku barisanaritmetika, 112Deret geometri: suatu deret yang diperoleh daripenjumlahan suku-suku barisangeometri, 122Deret geometri takberhingga: suatu deret geometri (biasanyakonvergen) yang mempunyaibanyak suku tak hingga, 127Deret konvergen: suatu deret yang mempunyaipembanding bernilai antara 0 dan1, 127Fungsi objektif:suatu fungsi dalam program linearyang akan dicari nilai maksimumatau nilai minimumnya, 8, 13Kendala:batasan dari suatu program linear,14Matriks:suatu model penyusunan bilangan-bilangan yang membentuk persegipanjang, di mana elemen-elemen-nya dibatasi tanda kurung, 31Glosarium183
184Khaz Matematika SMA 3 BhsMatriks identitas:matriks persegi dengan elemen-elemen diagonal utama bernilai 1,36Matriks nol:suatu matriks yang semua elemen-elemennya nol, 37Matriks persegi: matriks yang mempunyai ordon × n, 36Notasi sigma: notasi yang digunakan dalamoperasi penjumlahan, 136–145Optimum: memaksimumkan atau memini-mumkan, 13Ordo:derajat; tingkat; ukuran, 32Pemodelan matematika:proses membentuk sistem perti-daksamaan sebagai kendala (cons-traint) dalam program linear, 8Rasio:pembanding yang nilainya selalutetap antarsuku berurutan dalambarisan geometri, 117Skalar:suatu besaran yang hanya memilikibesar (panjang), 51Transpose matriks:suatu operasi matriks yang menu-kar elemen-elemen baris menjadielemen-elemen kolom atau se-baliknya, 37Variabel: peubah; notasi pemisalan yangbelum diketahui nilainya, 3
185Latihan Ujian NasionalIndeks SubjekAdjoin, 71Anuitas, 154Barisan aritmetika, 107Barisan bilangan, 103-104Barisan geometri, 117Batas atas, 136Batas bawah, 136Beda, 107Bunga majemuk, 150Bunga tunggal, 146Bunga, 146Dantzig, 13Deret divergen, 127Deret konvergen, 127Deret aritmetika, 112Deret bilangan, 105Deret geometri tak berhingga, 127Deret geometri, 122Determinan, 63Fungsi objektif, 8, 13Invers matriks, 62Jumlah n suku, 112Kesamaan dua matriks, 40Matriks baris, 35Matriks diagonal, 36Matriks identitas, 36Matriks kolom, 35Matriks nol, 37Matriks persegi, 36Matriks, 31Metode garis selidik, 18Metode uji titik sudut, 14Minor-kofaktor, 64Modal, 154Model matematika, 8Nonsingular, 67Notasi matriks, 32Optimum, 13Ordo matriks, 32Pengurangan matriks, 45Penjumlahan matriks, 43Perkalian matriks, 55Persamaan matriks, 74Pertidaksamaan linear, 3Program linear, 8Rasio, 117Sarrus, 64Sigma, 136-145Singular, 67Sistem pertidaksamaan linear, 3Skalar, 51Suku bunga, 154Suku ke-n, 108Transpose matriks, 37185
186Khaz Matematika SMA 3 BhsBab ISoal Kompetensi 13.3x + 8y = 8.200 dan 4x + 5y = 7.8006.5x + 4y) 200 dan 2x + 3y) 160Soal Kompetensi 21.Nilai maks = 42, nilai min = 08.Rokok jenis A = 0, rokok jenis B = 21,keuntungan = Rp15.750,00Bab IISoal Kompetensi 11.a.1)a11 = 5, –6, 8, –45)a13 = 83.a.P2x3d. 4Soal Kompetensi 21.A dengan E, B dengan C3.a.a = 1, b = 2b.a = 2, b = –43Soal Kompetensi 34.a.a = 8 b = –4c = –86.a.x = 3, y = 2Soal Kompetensi 61.a.7d.3x23.a.a = 3d.a = 27.a.x = –4 atau x = 2Soal Kompetensi 71.a.{(1, –1)}3.a.{(2, 3)}Bab IIISoal Kompetensi 11.a.–1, 3, 7, 11, 15e.2521 ,8069 ,4541 ,2021 ,593.a.Un = 2n + 1, U20 = 41, U30 = 61Soal Kompetensi 21.a.barisan aritmetikae.barisan aritmetika3.a.503e.–2Soal Kompetensi 31.a.590c.1.1403.a.m = 356.11.000Soal Kompetensi 41.a.15.3094.12, 36, 1085.1.638.400 bakteriKunci Soal-Soal Terpilih
PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan NasionalISBN : 978-979-068-858-2 (No. jil lengkap)ISBN : 978-979-068-863-6 Harga Eceran Tertinggi: Rp10.021,-